2. На рис. 1 окружность вписана в треугольник. а) Найдите ∠SOC, если ∠SCP=34°. б) найдите периметр ДХСА, если SC=4 см, ХК=2 см, АР=3 см (чертеж, дано, решение с объяснениями).

а) Нахождение ∠SOC

• Так как окружность вписана в треугольник, точка O является центром вписанной окружности, а значит, SO, CO и PO являются биссектрисами углов треугольника.
• SO — биссектриса ∠XSC.
• CO — биссектриса ∠SCX.
• PO — биссектриса ∠XSP.
• В треугольнике SOC:
• ∠SCO = ∠SCP = 34° (так как CO - биссектриса ∠SCX).
• ∠SOC — искомый угол.
• ∠CSO = ∠XSC / 2.
• ∠OCS = ∠SCX / 2.
• ∠COS = ∠SCX / 2.
• Угол ∠SOC является углом между биссектрисами углов ∠XSC и ∠SCX.
• В треугольнике XSC: ∠SXС + ∠XSC + ∠SCX = 180°.
• ∠SOC = 180° - (∠CSO + ∠SCO) = 180° - (∠XSC/2 + ∠SCX/2).
• ∠SOC = 180° - (∠XSC + ∠SCX)/2.
• Так как ∠XSC + ∠SCX = 180° - ∠SXС, то ∠SOC = 180° - (180° - ∠SXС)/2 = 180° - 90° + ∠SXС/2 = 90° + ∠SXС/2.
• Угол ∠SCP = 34° - это часть угла ∠SCX.
• Если ∠SCP = 34°, то ∠SCX = 2 * ∠SCP = 2 * 34° = 68° (если C - вершина).
• Однако, на рисунке 1 O - центр окружности, S, P, K - точки касания. SC и XC - касательные.
• SO ⊥ SC и KO ⊥ XK, PO ⊥ XP.
• ∠SOC = 180° - ∠SCX. (Это свойство четырехугольника, образованного точками S, O, C, P, если SP - хорда).
• Если ∠SCP = 34°, то это угол, образованный касательной SC и хордой CP.
• Угол между касательной и хордой равен половине дуги, которую они стягивают.
• ∠SCP = 34° => дуга SP = 2 * 34° = 68°.
• Центральный угол ∠SOP = дуга SP = 68°.
• ∠SOC - это половина ∠SOP? Нет.
• Рассмотрим треугольник SOC.
• ∠SCO - не биссектриса.
• SC и CP - отрезки касательных, проведенных из точки C. Следовательно, SC = CP.
• SO и PO - радиусы.
• ∠SOC - центральный угол.
• ∠SPC - вписанный угол, опирающийся на дугу SC.
• ∠SCO - не определен.
• ∠SOC?
• Если ∠SCP = 34°, это угол между касательной SC и хордой CP.
• Угол между касательной и хордой равен вписанному углу, опирающемуся на ту же дугу.
• ∠SCP = 34° => дуга SP = 2 * ∠SCP = 68° (это неверно, 34° - это угол, а не вписанный угол).
• Угол между касательной SC и хордой CP равен ∠CSP (если SP - хорда).
• ∠SCP = 34°. Это угол между касательной SC и хордой CP.
• Хорда CP стягивает дугу CP. Центральный угол ∠COP = дуге CP.
• Угол между касательной SC и хордой CP равен углу ∠CKP, где K - точка на окружности.
• ∠SOC - центральный угол.
• ∠SPC - вписанный угол.
• ∠SOC = 2 * ∠SPC.
• ∠SCP = 34°.
• В четырехугольнике S O P C: ∠OSO = ∠OPO = 90°.
• ∠SOP + ∠SPC + ∠PCS + ∠CSO = 360°.
• ∠SOP + ∠SPC + ∠PCS + 90° + 90° = 360°.
• ∠SOP + ∠SPC + ∠PCS = 180°.
• ∠SCP = 34°.
• Если SC и CP - касательные, то ∠SOP = 180° - ∠SCP = 180° - 34° = 146°.
• ∠SOC?
• O - центр окружности. S и P - точки касания. C - точка вне окружности.
• ∠SOC - это угол между радиусами.
• ∠SCP = 34°.
• SC и CP - касательные из точки C.
• SO ⊥ SC, PO ⊥ CP.
• В четырехугольнике SOPC: ∠OSO = ∠OPO = 90°.
• Сумма углов четырехугольника = 360°.
• ∠SOP + ∠OSO + ∠SPC + ∠OCP = 360° (это неверно, ∠SPC и ∠OCP не являются углами четырехугольника).
• Сумма углов четырехугольника SOPC: ∠SOP + ∠OSO + ∠SCP + ∠OPC = 360°.
• ∠SOP + 90° + 34° + 90° = 360°.
• ∠SOP + 214° = 360°.
• ∠SOP = 360° - 214° = 146°.
• ∠SOC?
• S и P - точки касания. O - центр. C - точка.
• ∠SOC - это угол между радиусами SO и OC.
• ∠SCP = 34°.
• ∠SOC = 180° - ∠SCP = 180° - 34° = 146°.
• Ответ: ∠SOC = 146°.

б) Нахождение периметра ΔXCA

• SC, SK, AP, AC - касательные.
• S, K, P - точки касания.
• SC = 4 см.
• XK = 2 см.
• AP = 3 см.
• Отрезки касательных, проведенных из одной точки к окружности, равны.
• Из точки S: SK = SP.
• Из точки X: XK = XA.
• Из точки C: CS = CP.
• Из точки A: AP = AC.
• По условию:
• SC = 4 см => CP = 4 см.
• XK = 2 см => XA = 2 см.
• AP = 3 см => AC = 3 см.
• Периметр ΔXCA = XA + AC + XC.
• Мы знаем XA = 2 см и AC = 3 см.
• Нужно найти XC.
• XC = XK + KC.
• Мы знаем XK = 2 см.
• Нам нужно найти KC.
• KC - это отрезок касательной из точки K.
• K - точка касания.
• S - точка касания.
• X - точка, из которой проведены касательные XK и XA.
• C - точка, из которой проведены касательные CS и CP.
• A - точка, из которой проведены касательные AP и AC.
• KC - ?
• SC = 4 см.
• CS = CP.
• XK = 2 см.
• XA = XK.
• AP = 3 см.
• AC = AP.
• Периметр ΔXCA = XA + AC + XC.
• XA = 2 см.
• AC = 3 см.
• XC = ?
• KC - это отрезок касательной.
• S - точка касания.
• X - точка.
• C - точка.
• K - точка касания.
• SC - касательная.
• CS = 4 см.
• XC - ?
• XC = XA + AC.
• XA = 2 см.
• AC = 3 см.
• XC = 2 + 3 = 5 см.
• Периметр ΔXCA = XA + AC + XC = 2 + 3 + 5 = 10 см.
• Проверка:
• SC = 4.
• XK = 2 => XA = 2.
• AP = 3 => AC = 3.
• XC = XA + AC = 2 + 3 = 5.
• Периметр ΔXCA = XA + AC + XC = 2 + 3 + 5 = 10.
• Ответ: Периметр ΔXCA = 10 см.