3. На рис. 3 точка О — центр окружности, ∠OAD = 34°. Найдите угол FOA. (чертеж, дано, решение с объяснениями).

Дано:

• O — центр окружности.
• ∠OAD = 34°.

Найти:

• ∠FOA.

Решение:

1. Радиусы: OA, OD, OF — радиусы окружности.
2. Равнобедренные треугольники: Треугольники ΔOAD и ΔOFA являются равнобедренными, так как две стороны у них равны радиусу.
• В ΔOAD: OA = OD (радиусы).
• В ΔOFA: OF = OA (радиусы).
3. Углы при основании: В равнобедренном треугольнике углы при основании равны.
• В ΔOAD: ∠ODA = ∠OAD = 34°.
4. Сумма углов в ΔOAD: Сумма углов в любом треугольнике равна 180°.
• ∠AOD + ∠OAD + ∠ODA = 180°.
• ∠AOD + 34° + 34° = 180°.
• ∠AOD + 68° = 180°.
• ∠AOD = 180° - 68° = 112°.
5. Угол FOA: Угол ∠FOA является центральным углом, опирающимся на дугу FA.
6. Угол ∠AOD — центральный угол, опирающийся на дугу AD.
7. По рисунку видно, что луч OA делит угол ∠FOD.
8. ∠FOA и ∠AOD являются смежными углами, если F, O, D лежат на одной прямой (диаметр). Но по рисунку это не так.
9. ∠FOA и ∠AOD являются углами, выходящими из центра O.
10. F, O, D - точки на окружности, O - центр.
11. ∠FOA и ∠AOD - центральные углы.
12. ∠OAD = 34°.
13. ∠ODA = 34°.
14. ∠AOD = 180° - (34° + 34°) = 180° - 68° = 112°.
15. FO и OA - радиусы.
16. ∠FOA - центральный угол.
17. AD - хорда.
18. ∠FAD - вписанный угол, опирающийся на дугу FD.
19. ∠FOD = ∠FOA + ∠AOD.
20. F, O, D - лежат на одной прямой, если FD - диаметр. По рисунку FD - хорда.
21. FO и OA - радиусы.
22. ∠FOA - центральный угол.
23. ∠FAO - угол в равнобедренном треугольнике ΔFOA.
24. ∠FAO = ∠FOA? Нет.
25. ∠FAO = ∠AOF.
26. ∠FAO - угол при основании, ∠FOA - угол при вершине.
27. ∠FAO = ∠AFO.
28. ∠FOA = 180° - 2 * ∠FAO.
29. ∠OAD = 34°.
30. ∠FAO - это часть ∠FAD.
31. ∠OAD - это часть ∠FAD.
32. ∠FAO?
33. ∠OAD - это угол между радиусом OA и хордой AD.
34. ∠OAD = 34°.
35. ∠ODA = 34°.
36. ∠AOD = 112°.
37. ∠FOA?
38. F, O, A - точки.
39. OF = OA (радиусы).
40. ∠OAF = ∠OFA.
41. ∠FOA = 180° - 2 * ∠OAF.
42. ∠OAD = 34°.
43. ∠FAO = ?
44. AD - хорда.
45. ∠FAD - вписанный угол.
46. ∠FOD - центральный угол.
47. ∠FOD = 2 * ∠FAD.
48. ∠FOA + ∠AOD = ∠FOD.
49. ∠FOA + 112° = ∠FOD.
50. ∠FAD = ∠FAO + ∠OAD = ∠FAO + 34°.
51. ∠FOD = 2 * (∠FAO + 34°).
52. ∠FOA + 112° = 2 * ∠FAO + 68°.
53. ∠FOA = 180° - 2 * ∠FAO.
54. Подставим:
55. (180° - 2 * ∠FAO) + 112° = 2 * ∠FAO + 68°.
56. 292° - 2 * ∠FAO = 2 * ∠FAO + 68°.
57. 292° - 68° = 4 * ∠FAO.
58. 224° = 4 * ∠FAO.
59. ∠FAO = 224° / 4 = 56°.
60. Теперь найдем ∠FOA:
61. ∠FOA = 180° - 2 * ∠FAO = 180° - 2 * 56° = 180° - 112° = 68°.
62. Проверка:
63. ∠FOA = 68°.
64. ∠FAO = 56°.
65. ∠OAF = ∠OFA = 56°.
66. ∠OAD = 34°.
67. ∠FAO + ∠OAD = 56° + 34° = 90°.
68. ∠FAD = 90°.
69. ∠FOD = 2 * ∠FAD = 2 * 90° = 180°.
70. ∠FOD = ∠FOA + ∠AOD = 68° + 112° = 180°.
71. Все сходится.

Ответ: ∠FOA = 68°.