Решение:

Для решения неравенства \( -2x^2 + 4x + 6 \le 0 \) найдём корни квадратного уравнения \( -2x^2 + 4x + 6 = 0 \). Удобнее сначала разделить всё уравнение на \( -2 \), при этом знак неравенства изменится на противоположный:

\[ x^2 - 2x - 3 \ge 0 \]

Теперь найдём корни уравнения \( x^2 - 2x - 3 = 0 \):

\[ D = b^2 - 4ac = (-2)^2 - 4 \cdot 1 \cdot (-3) = 4 + 12 = 16 \]

Корни уравнения:

\[ x_1 = \frac{-(-2) + \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 + 4}{2} = \frac{6}{2} = 3 \]

\[ x_2 = \frac{-(-2) - \sqrt{16}}{2 \cdot 1} = \frac{2 - 4}{2} = \frac{-2}{2} = -1 \]

Итак, корни исходного уравнения \( -2x^2 + 4x + 6 = 0 \) равны \( -1 \) и \( 3 \). Парабола \( y = -2x^2 + 4x + 6 \) направлена ветвями вниз (так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный). Неравенство \( -2x^2 + 4x + 6 \le 0 \) выполняется там, где график функции находится ниже оси абсцисс или на ней. Это происходит при \( x \) меньше или равном \( -1 \) и при \( x \) больше или равном \( 3 \).

Ответ: \( (-\infty; -1] \cup [3; +\infty) \).

Поделись с друзьями