Задание 4. Текстовая задача

Дано:

Расстояние против течения: \( S_{против} = 45 \) км.
Расстояние по течению: \( S_{по} = 45 \) км.
Общее время в пути: \( T_{общее} = 14 \) ч.
Скорость течения реки: \( v_{теч} = 2 \) км/ч.

Найти: собственную скорость лодки \( v_{собств} \).

Решение:

Обозначим собственную скорость лодки как \( v_{собств} \) км/ч.
Скорость лодки против течения: \( v_{против} = v_{собств} - v_{теч} = v_{собств} - 2 \) км/ч.
Скорость лодки по течению: \( v_{по} = v_{собств} + v_{теч} = v_{собств} + 2 \) км/ч.
Время в пути против течения: \( t_{против} = \frac{S_{против}}{v_{против}} = \frac{45}{v_{собств} - 2} \) ч.
Время в пути по течению: \( t_{по} = \frac{S_{по}}{v_{по}} = \frac{45}{v_{собств} + 2} \) ч.
Общее время в пути равно сумме времени против и по течению: \( t_{против} + t_{по} = T_{общее} \).
Составим уравнение: \( \frac{45}{v_{собств} - 2} + \frac{45}{v_{собств} + 2} = 14 \).
Приведём к общему знаменателю: \( \frac{45(v_{собств} + 2) + 45(v_{собств} - 2)}{(v_{собств} - 2)(v_{собств} + 2)} = 14 \).
Раскроем скобки в числителе: \( \frac{45v_{собств} + 90 + 45v_{собств} - 90}{v_{собств}^2 - 4} = 14 \).
Упростим числитель: \( \frac{90v_{собств}}{v_{собств}^2 - 4} = 14 \).
Перенесём всё в одну сторону: \( 90v_{собств} = 14(v_{собств}^2 - 4) \).
Раскроем скобки: \( 90v_{собств} = 14v_{собств}^2 - 56 \).
Приведём к стандартному виду квадратного уравнения: \( 14v_{собств}^2 - 90v_{собств} - 56 = 0 \).
Разделим все члены уравнения на 2: \( 7v_{собств}^2 - 45v_{собств} - 28 = 0 \).
Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = (-45)^2 - 4 \cdot 7 \cdot (-28) = 2025 + 784 = 2809 \).
\( \sqrt{D} = \sqrt{2809} = 53 \).
Найдем корни:

\( v_{собств1} = \frac{45 + 53}{2 \cdot 7} = \frac{98}{14} = 7 \) км/ч.
\( v_{собств2} = \frac{45 - 53}{2 \cdot 7} = \frac{-8}{14} = -\frac{4}{7} \) км/ч.

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: Собственная скорость лодки 7 км/ч.

Поделись с друзьями