7. В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 13 дм и основание равно 10 см. Найдите: а) высоту этого треугольника, проведенную к основанию б) площадь треугольника.

Задание 7. Геометрия

Дано:

• Равнобедренный треугольник.
• Боковая сторона \( a = 13 \) дм.
• Основание \( b = 10 \) см.

Найти:

• а) высоту \( h \) к основанию.
• б) площадь \( S \).

Решение:

Важно: В условии даны разные единицы измерения (дм и см). Сначала приведём их к одной единице. Удобнее работать в сантиметрах:

• Боковая сторона \( a = 13 \) дм = \( 130 \) см.
• Основание \( b = 10 \) см.

а) Нахождение высоты:

В равнобедренном треугольнике высота, проведённая к основанию, является также медианой и биссектрисой. Она делит основание пополам.

1. Половина основания: \( \frac{b}{2} = \frac{10}{2} = 5 \) см.
2. Высота \( h \), половина основания \( \frac{b}{2} \) и боковая сторона \( a \) образуют прямоугольный треугольник. Воспользуемся теоремой Пифагора: \( h^2 + (\frac{b}{2})^2 = a^2 \).
3. Подставим значения: \( h^2 + 5^2 = 130^2 \).
4. \( h^2 + 25 = 16900 \).
5. \( h^2 = 16900 - 25 \).
6. \( h^2 = 16875 \).
7. \( h = \sqrt{16875} \).
8. Упростим корень: \( h = \sqrt{5625 \cdot 3} = \sqrt{5625} \cdot \sqrt{3} = 75\sqrt{3} \) см.

б) Нахождение площади:

Площадь треугольника вычисляется по формуле: \( S = \frac{1}{2} \cdot основание \cdot высота \).

1. Подставим значения: \( S = \frac{1}{2} \cdot b \cdot h \).
2. \( S = \frac{1}{2} \cdot 10 \text{ см} \cdot 75\sqrt{3} \text{ см} \).
3. \( S = 5 \cdot 75\sqrt{3} \text{ см}^2 \).
4. \( S = 375\sqrt{3} \text{ см}^2 \).

Ответ:

• а) Высота треугольника равна \( 75\sqrt{3} \) см.
• б) Площадь треугольника равна \( 375\sqrt{3} \text{ см}^2 \).