Решение:

1. Построение графика функции \( y = 2x^2 + x \):

Это парабола, ветви которой направлены вверх. Найдем вершину параболы.

Абсцисса вершины \( x_в = \frac{-b}{2a} = \frac{-1}{2 \cdot 2} = -\frac{1}{4} \).

Ордината вершины \( y_в = 2(-\frac{1}{4})^2 + (-\frac{1}{4}) = 2(\frac{1}{16}) - \frac{1}{4} = \frac{1}{8} - \frac{2}{8} = -\frac{1}{8} \).

Вершина параболы в точке \( (-\frac{1}{4}, -\frac{1}{8}) \).

Найдем точки пересечения с осью x (при \( y = 0 \)):

\( 2x^2 + x = 0 \)
\( x(2x+1) = 0 \)
\( x_1 = 0, x_2 = -\frac{1}{2} \).

2. Определение значений k:

Прямая \( y = kx \) проходит через начало координат (0, 0). Чтобы прямая имела ровно одну общую точку с параболой \( y = 2x^2 + x \), она должна быть касательной к параболе.

Приравняем уравнения:

\( 2x^2 + x = kx \)

Перенесем все в одну сторону:

\( 2x^2 + x - kx = 0 \)
\( 2x^2 + (1-k)x = 0 \)

Это квадратное уравнение. Чтобы оно имело ровно один корень, его дискриминант должен быть равен нулю. Однако, это уравнение имеет свободный член равный нулю, поэтому один корень всегда \( x = 0 \).

Разделим на \( x \) (при условии \( x \neq 0 \)):

\( 2x + (1-k) = 0 \)
\( 2x = k-1 \)
\( x = \frac{k-1}{2} \)

Для того чтобы касательная имела ровно одну точку пересечения, должно быть одно решение. В данном случае, мы уже имеем корень \( x = 0 \).

Чтобы было ровно одно решение, нам нужно, чтобы второе решение совпадало с \( x=0 \). Это произойдет, если \( \frac{k-1}{2} = 0 \).

\( k-1 = 0 \)
\( k = 1 \).

В этом случае, при \( k = 1 \), прямая \( y = x \) будет касаться параболы в точке \( x=0 \).

Однако, есть еще один случай, когда прямая, проходящая через начало координат, касается параболы. Это когда прямая является касательной. Для этого нужно, чтобы уравнение \( 2x^2 + (1-k)x = 0 \) имело единственный корень. Поскольку \( x=0 \) уже является корнем, для единственности нужно, чтобы второй корень был равен \( x=0 \) или чтобы старший член исчез (что невозможно).

Более точный подход: уравнение \( 2x^2 + (1-k)x = 0 \) имеет два корня: \( x_1 = 0 \) и \( x_2 = \frac{k-1}{2} \).

Чтобы было ровно одно решение, нужно, чтобы \( x_1 = x_2 \), то есть \( 0 = \frac{k-1}{2} \). Это дает \( k=1 \).

Но это рассуждение не совсем полное. График функции \( y = 2x^2 + x \) и прямая \( y = kx \).

Условие касания: уравнение \( 2x^2 + x = kx \) должно иметь один корень.

\( 2x^2 + (1-k)x = 0 \)

Это уравнение всегда имеет корень \( x=0 \).

Чтобы было ровно одно решение, нам нужно, чтобы второе решение совпало с первым, или чтобы у квадратного уравнения был ровно один корень (чего здесь нет, т.к. свободный член 0).

Другой подход: Через начало координат (0,0) проведены касательные к параболе \( y = 2x^2 + x \).

Пусть точка касания \( (x_0, y_0) \).

\( y_0 = 2x_0^2 + x_0 \).

Уравнение касательной в точке \( (x_0, y_0) \) имеет вид \( y - y_0 = y'(x_0)(x - x_0) \).

Производная \( y' = 4x + 1 \).

\( y'(x_0) = 4x_0 + 1 \).

Уравнение касательной: \( y - (2x_0^2 + x_0) = (4x_0 + 1)(x - x_0) \).

Так как касательная проходит через начало координат (0, 0), подставим \( x=0, y=0 \):

\( 0 - (2x_0^2 + x_0) = (4x_0 + 1)(0 - x_0) \)
\( -2x_0^2 - x_0 = -4x_0^2 - x_0 \)
\( -2x_0^2 = -4x_0^2 \)
\( 2x_0^2 = 0 \)
\( x_0 = 0 \).

Это означает, что одна из касательных проходит через начало координат в точке \( x_0=0 \).

При \( x_0 = 0 \), наклон касательной \( k = y'(0) = 4(0) + 1 = 1 \).

Итак, прямая \( y = 1x \) является касательной к параболе в точке (0, 0).

Чтобы ровно одна общая точка, прямая \( y=kx \) должна быть касательной. Мы нашли, что \( k=1 \) является одним из таких значений.

Стоит проверить, нет ли других касательных. Уравнение \( 2x^2 + (1-k)x = 0 \) уже показывает, что \( x=0 \) всегда является решением. Второе решение \( x = \frac{k-1}{2} \).

Если \( \frac{k-1}{2} = 0 \), то \( k=1 \). В этом случае \( x=0 \) — единственное решение.

Возможно, имеется в виду, что прямая \( y=kx \) должна быть касательной к параболе, проходящей через начало координат. В этом случае, мы нашли, что \( k = 1 \).

График:

Ответ: Прямая \( y = kx \) имеет ровно одну общую точку с графиком \( y = 2x^2 + x \) при \( k = 1 \).

Поделись с друзьями