Обозначим плоскости треугольников ABC и ABD через α и β. Они различны и имеют общую прямую AB.

Пусть l — любая прямая, параллельная CD. Прямая CD лежит в плоскости, проходящей через C, D и параллельную l; для строгого вывода рассмотрим направление: так как C и D лежат по разные стороны общей прямой AB в соответствующих плоскостях, отрезок CD соединяет плоскости α и β. Однако параллельность l отрезку CD сама по себе не гарантирует, что l пересечёт обе плоскости: например, прямая, параллельная CD и смещённая, может быть параллельна одной из них.

Утверждение в таком виде неверно без дополнительного ограничения положения прямой. Действительно, через любую точку вне α можно провести прямую, параллельную CD; если CD не параллельна α, такая прямая пересечёт α, но для β также пересечёт β только при соответствующем положении. Поскольку направление CD не параллельно ни одной из плоскостей (C не принадлежит β, D не принадлежит α), любая прямая этого направления пересекает каждую из плоскостей: прямая, параллельная плоскости, должна иметь направление, параллельное плоскости, а CD не параллельна α и β. Значит, l пересекает обе плоскости.

Ответ: любая прямая, параллельная CD, пересекает обе плоскости.

Поделись с друзьями