19. Стороны AB и BC параллелограмма ABCD пересекают плоскость α. Докажите, что прямые AD и DC также пересекают плоскость α.

Обозначим через β плоскость параллелограмма ABCD. Плоскости α и β пересекаются по некоторой прямой l.

Так как прямая AB пересекает плоскость α, прямая l пересекает AB. Аналогично, поскольку BC пересекает плоскость α, прямая l пересекает BC.

В параллелограмме ABCD выполняются отношения \(AD\parallel BC\) и \(DC\parallel AB\).

Прямая l не может быть параллельна BC, поскольку она пересекает BC. Следовательно, она пересекает и параллельную ей прямую AD.

Аналогично, l не параллельна AB, поэтому она пересекает параллельную ей прямую DC.

Точки пересечения прямых AD и DC с прямой l принадлежат плоскости α. Значит, прямые AD и DC пересекают плоскость α.

Что и требовалось доказать.