Решение неравенств:

1) \(\frac{x+3}{x-1}\) > 0

Корни числителя и знаменателя: x = -3, x = 1.

Метод интервалов:
- При x > 1: (+)/(+) = + (больше 0)
- При -3 < x < 1: (+)/(-) = -
- При x < -3: (-)/(-) = + (больше 0)
Ответ: x ∈ (-∞; -3) ∪ (1; +∞)
2) \(\frac{(x-2)(x + 1)}{x-4}\) < 0

Корни числителя и знаменателя: x = 2, x = -1, x = 4.

Метод интервалов:
- При x > 4: (+)(+)/(+) = +
- При 2 < x < 4: (+)(+)/(-) = - (меньше 0)
- При -1 < x < 2: (+)(-)/(-) = +
- При x < -1: (-)(-)/(-) = - (меньше 0)
Ответ: x ∈ (-∞; -1) ∪ (2; 4)
3) \(\frac{(2x + 1)(x - 3)}{(2 - x)(x - 5)}\) < 0

Корни числителя и знаменателя: x = -1/2, x = 3, x = 2, x = 5.

Метод интервалов:
- При x > 5: (+)(+)/(-)(+) = - (меньше 0)
- При 3 < x < 5: (+)(+)/(-)(-) = +
- При 2 < x < 3: (+)(-)/(-)(-) = +
- При -1/2 < x < 2: (+)(-)/(-)(+) = - (меньше 0)
- При x < -1/2: (-)(-)/(-)(+) = +
Ответ: x ∈ (-1/2; 2) ∪ (3; 5)
4) \(\frac{x³(x-1)⁴(x + 5)}{(x - 8)(1 - 4x)}\) > 0

Корни числителя и знаменателя: x = 0, x = 1, x = -5, x = 8, x = 1/4.

Анализ степеней:
- (x-1)⁴ всегда ≥ 0. Для выполнения неравенства > 0, нам нужно (x-1)⁴ ≠ 0, т.е. x ≠ 1.
- x³ сохраняет знак x.
- (1 - 4x) имеет корень x = 1/4. Удобнее рассмотреть множитель (4x - 1), тогда знак перед всей дробью изменится на противоположный.
Приведенное неравенство: -\(\frac{x³(x + 5)}{(x - 8)(4x - 1)}\) > 0, что эквивалентно \(\frac{x³(x + 5)}{(x - 8)(4x - 1)}\) < 0. И учесть, что x ≠ 1 и x ≠ -5 (так как x³). Из-за x³, корень x=0 также является корнем, который меняет знак. Корень x=-5 также меняет знак.

Корни: x = -5, x = 0, x = 1/4, x = 8.

Метод интервалов для \(\frac{x³(x + 5)}{(x - 8)(4x - 1)}\) < 0:
- При x > 8: (+)(+)/(+)(+) = +
- При 1/4 < x < 8: (+)(+)/(+)(-) = - (меньше 0)
- При 0 < x < 1/4: (+)(+)/(-)(-) = +
- При -5 < x < 0: (-)(+)/(-)(-) = +
- При x < -5: (-)(-)/(-)(-) = - (меньше 0)
Учитываем, что x ≠ 1 (1 находится в интервале (1/4; 8), где знак минус, так что мы его просто не включаем). Также, x=-5 - корень, который меняет знак (из-за x³), поэтому знак на интервале (-5; 0) будет -. Но так как у нас x³ , то знак должен меняться на x=-5. Поэтому знак на (-5, 0) будет +. При x < -5 знак будет -.

Пересмотрим знаки с учетом x³ и (x-1)⁴:

Корни: -5, 0, 1/4, 1, 8.
- x > 8: (+)(+)/(+)(+) = +
- 1 < x < 8: (+)(+)/(+)(-) = -
- 1/4 < x < 1: (+)(+)/(+)(-) = -
- 0 < x < 1/4: (+)(+)/(-)(-) = +
- -5 < x < 0: (-)(+)/(-)(-) = +
- x < -5: (-)(-)/(-)(-) = -
Нам нужно < 0.

Ответ: x ∈ (-∞; -5) ∪ (1/4; 1) ∪ (1; 8)

Поделись с друзьями