Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 4) Решите неравенство: 1) 1 < 1; x 2) x > 1; x+3 2 3) 1 < 3; x+2 x-3 4) 4 + 2 < 1. x+1 1-xФото задания

Ответ:

Решение неравенств:

  1. 1) \(\frac{1}{x}\) < 1

    Перенесем все в одну сторону: \(\frac{1}{x}\) - 1 < 0

    Приведем к общему знаменателю: \(\frac{1 - x}{x}\) < 0

    Корни числителя и знаменателя: x = 1, x = 0.

    Метод интервалов:

    • При x > 1: (-)/(+) = - (меньше 0)
    • При 0 < x < 1: (+)/(+) = +
    • При x < 0: (+)/(-) = - (меньше 0)

    Ответ: x ∈ (-∞; 0) ∪ (1; +∞)

  2. 2) \(\frac{x}{x+3}\) > \(\frac{1}{2}\)

    Перенесем все в одну сторону: \(\frac{x}{x+3}\) - \(\frac{1}{2}\) > 0

    Приведем к общему знаменателю: \(\frac{2x - (x+3)}{2(x+3)}\) > 0

    \(\frac{x - 3}{2(x+3)}\) > 0

    Корни числителя и знаменателя: x = 3, x = -3.

    Метод интервалов:

    • При x > 3: (+)/(+) = + (больше 0)
    • При -3 < x < 3: (-)/(+) = -
    • При x < -3: (-)/(-) = + (больше 0)

    Ответ: x ∈ (-∞; -3) ∪ (3; +∞)

  3. 3) \(\frac{1}{x+2}\) < \(\frac{3}{x-3}\)

    Перенесем все в одну сторону: \(\frac{1}{x+2}\) - \(\frac{3}{x-3}\) < 0

    Приведем к общему знаменателю: \(\frac{(x-3) - 3(x+2)}{(x+2)(x-3)}\) < 0

    \(\frac{x - 3 - 3x - 6}{(x+2)(x-3)}\) < 0

    \(\frac{-2x - 9}{(x+2)(x-3)}\) < 0

    Умножим на -1 и сменим знак неравенства: \(\frac{2x + 9}{(x+2)(x-3)}\) > 0

    Корни числителя и знаменателя: x = -9/2, x = -2, x = 3.

    Метод интервалов:

    • При x > 3: (+)/(+)(+) = + (больше 0)
    • При -2 < x < 3: (+)/(+)(-) = -
    • При -9/2 < x < -2: (+)/(-)(-) = + (больше 0)
    • При x < -9/2: (-)/(-)(-) = -

    Ответ: x ∈ (-9/2; -2) ∪ (3; +∞)

  4. 4) \(\frac{4}{x+1}\) + \(\frac{2}{1-x}\) < 1

    Перенесем все в одну сторону: \(\frac{4}{x+1}\) + \(\frac{2}{1-x}\) - 1 < 0

    Приведем к общему знаменателю: \(\frac{4(1-x) + 2(x+1) - (x+1)(1-x)}{(x+1)(1-x)}\) < 0

    \(\frac{4 - 4x + 2x + 2 - (x - x² + 1 - x)}{(x+1)(1-x)}\) < 0

    \(\frac{6 - 2x - (x - x² + 1 - x)}{(x+1)(1-x)}\) < 0

    \(\frac{6 - 2x - x² + x - 1}{(x+1)(1-x)}\) < 0

    \(\frac{-x² - x + 5}{(x+1)(1-x)}\) < 0

    Умножим на -1 и сменим знак неравенства: \(\frac{x² + x - 5}{(x+1)(1-x)}\) > 0

    Найдем корни числителя x² + x - 5 = 0: x = \(\frac{-1 ± √(1² - 4(1)(-5))}{2(1)}\) = \(\frac{-1 ± √(1 + 20)}{2}\) = \(\frac{-1 ± √{21}}{2}\)

    Корни знаменателя: x = -1, x = 1.

    Обозначим корни: x₁ = \(\frac{-1 - √{21}}{2}\) ≈ -2.79 x₂ = \(\frac{-1 + √{21}}{2}\) ≈ 1.79

    Корни знаменателя: x = -1, x = 1.

    Метод интервалов для \(\frac{x² + x - 5}{(x+1)(1-x)}\) > 0:

    • При x > 1.79 (и x≠1): (+)/(+)(-) = -
    • При 1 < x < 1.79: (+)/(+)(-) = -
    • При -1 < x < 1: (+)/(-)(-) = + (больше 0)
    • При -2.79 < x < -1: (+)/(-)(-) = + (больше 0)
    • При x < -2.79: (-)/(-)(-) = -

    Ответ: x ∈ (-2.79; -1) ∪ (-2.79; 1)

    Точнее: x ∈ \(\frac{-1 - √{21}}{2}; -1\) ∪ \(-1; \frac{-1 + √{21}}{2}\)