Контрольные задания
Вопрос:Фото задания: 3) Решите неравенство: 1) x+3 > 0; x-1 2) (x-2)(x + 1) < 0; x-4 3) (2x + 1)(x - 3) < 0; (2 - x)(x - 5) 4) x³(x-1)⁴(x + 5) >…Фото задания

Ответ:

Решение неравенств:

  1. 1) \(\frac{x+3}{x-1}\) > 0

    Корни числителя и знаменателя: x = -3, x = 1.

    Метод интервалов:

    • При x > 1: (+)/(+) = + (больше 0)
    • При -3 < x < 1: (+)/(-) = -
    • При x < -3: (-)/(-) = + (больше 0)

    Ответ: x ∈ (-∞; -3) ∪ (1; +∞)

  2. 2) \(\frac{(x-2)(x + 1)}{x-4}\) < 0

    Корни числителя и знаменателя: x = 2, x = -1, x = 4.

    Метод интервалов:

    • При x > 4: (+)(+)/(+) = +
    • При 2 < x < 4: (+)(+)/(-) = - (меньше 0)
    • При -1 < x < 2: (+)(-)/(-) = +
    • При x < -1: (-)(-)/(-) = - (меньше 0)

    Ответ: x ∈ (-∞; -1) ∪ (2; 4)

  3. 3) \(\frac{(2x + 1)(x - 3)}{(2 - x)(x - 5)}\) < 0

    Корни числителя и знаменателя: x = -1/2, x = 3, x = 2, x = 5.

    Метод интервалов:

    • При x > 5: (+)(+)/(-)(+) = - (меньше 0)
    • При 3 < x < 5: (+)(+)/(-)(-) = +
    • При 2 < x < 3: (+)(-)/(-)(-) = +
    • При -1/2 < x < 2: (+)(-)/(-)(+) = - (меньше 0)
    • При x < -1/2: (-)(-)/(-)(+) = +

    Ответ: x ∈ (-1/2; 2) ∪ (3; 5)

  4. 4) \(\frac{x³(x-1)⁴(x + 5)}{(x - 8)(1 - 4x)}\) > 0

    Корни числителя и знаменателя: x = 0, x = 1, x = -5, x = 8, x = 1/4.

    Анализ степеней:

    • (x-1)⁴ всегда ≥ 0. Для выполнения неравенства > 0, нам нужно (x-1)⁴ ≠ 0, т.е. x ≠ 1.
    • x³ сохраняет знак x.
    • (1 - 4x) имеет корень x = 1/4. Удобнее рассмотреть множитель (4x - 1), тогда знак перед всей дробью изменится на противоположный.

    Приведенное неравенство: -\(\frac{x³(x + 5)}{(x - 8)(4x - 1)}\) > 0, что эквивалентно \(\frac{x³(x + 5)}{(x - 8)(4x - 1)}\) < 0. И учесть, что x ≠ 1 и x ≠ -5 (так как x³). Из-за x³, корень x=0 также является корнем, который меняет знак. Корень x=-5 также меняет знак.

    Корни: x = -5, x = 0, x = 1/4, x = 8.

    Метод интервалов для \(\frac{x³(x + 5)}{(x - 8)(4x - 1)}\) < 0:

    • При x > 8: (+)(+)/(+)(+) = +
    • При 1/4 < x < 8: (+)(+)/(+)(-) = - (меньше 0)
    • При 0 < x < 1/4: (+)(+)/(-)(-) = +
    • При -5 < x < 0: (-)(+)/(-)(-) = +
    • При x < -5: (-)(-)/(-)(-) = - (меньше 0)

    Учитываем, что x ≠ 1 (1 находится в интервале (1/4; 8), где знак минус, так что мы его просто не включаем). Также, x=-5 - корень, который меняет знак (из-за x³), поэтому знак на интервале (-5; 0) будет -. Но так как у нас x³ , то знак должен меняться на x=-5. Поэтому знак на (-5, 0) будет +. При x < -5 знак будет -.

    Пересмотрим знаки с учетом x³ и (x-1)⁴:

    Корни: -5, 0, 1/4, 1, 8.

    • x > 8: (+)(+)/(+)(+) = +
    • 1 < x < 8: (+)(+)/(+)(-) = -
    • 1/4 < x < 1: (+)(+)/(+)(-) = -
    • 0 < x < 1/4: (+)(+)/(-)(-) = +
    • -5 < x < 0: (-)(+)/(-)(-) = +
    • x < -5: (-)(-)/(-)(-) = -

    Нам нужно < 0.

    Ответ: x ∈ (-∞; -5) ∪ (1/4; 1) ∪ (1; 8)