Решение:

Пусть \( n \) — количество контрольных работ, выполненных студентом ДО последней.

Пусть \( S \) — сумма баллов за эти \( n \) работ.

Средний балл за \( n \) работ: \( \bar{x}_n = \frac{S}{n} \) \( \Rightarrow S = n \cdot \bar{x}_n \).

Случай 1:

Если за последнюю работу студент получит 90 баллов, то общее количество работ будет \( n+1 \).

Новая сумма: \( S + 90 \).

Новый средний балл: 84.

\( \frac{S + 90}{n + 1} = 84 \) \( \Rightarrow S + 90 = 84(n + 1) \) \( \Rightarrow S + 90 = 84n + 84 \) \( \Rightarrow S = 84n - 6 \) (1)

Случай 2:

Если за последнюю работу студент получит 50 баллов, то общее количество работ также будет \( n+1 \).

Новая сумма: \( S + 50 \).

Новый средний балл: 81.

\( \frac{S + 50}{n + 1} = 81 \) \( \Rightarrow S + 50 = 81(n + 1) \) \( \Rightarrow S + 50 = 81n + 81 \) \( \Rightarrow S = 81n + 31 \) (2)

Приравняем выражения для \( S \) из уравнений (1) и (2):

\( 84n - 6 = 81n + 31 \)

\( 84n - 81n = 31 + 6 \)

\( 3n = 37 \)

\( n = \frac{37}{3} \).

Поскольку количество работ должно быть целым числом, вероятно, в условии задачи есть некоторая неточность, или я неправильно понял условие. Однако, если принять, что \( n \) — количество работ до последней, то \( n \) должно быть целым. Попробуем решить иначе.

Пусть \( N \) — общее количество контрольных работ.

Пусть \( S_{N-1} \) — сумма баллов за \( N-1 \) работ.

Случай 1:

\( \frac{S_{N-1} + 90}{N} = 84 \) \( \Rightarrow S_{N-1} + 90 = 84N \) \( \Rightarrow S_{N-1} = 84N - 90 \) (1)

Случай 2:

\( \frac{S_{N-1} + 50}{N} = 81 \) \( \Rightarrow S_{N-1} + 50 = 81N \) \( \Rightarrow S_{N-1} = 81N - 50 \) (2)

Приравняем выражения для \( S_{N-1} \) из уравнений (1) и (2):

\( 84N - 90 = 81N - 50 \)

\( 84N - 81N = 90 - 50 \)

\( 3N = 40 \)

\( N = \frac{40}{3} \).

По условию задачи, студент выполнил «несколько контрольных работ». В задачах такого типа предполагается, что количество работ — целое число. Возможно, в исходном тексте задачи есть опечатка. Однако, если предположить, что средний балл за \( N-1 \) работ является \( \bar{x} \), то \( S_{N-1} = (N-1)\bar{x} \).

Давайте перепроверим логику. Пусть \( x \) — это сумма баллов за \( n \) работ, а \( k \) — общее количество работ.

\( \frac{x + 90}{k} = 84 \) \( \Rightarrow x + 90 = 84k \) \( \Rightarrow x = 84k - 90 \)

\( \frac{x + 50}{k} = 81 \) \( \Rightarrow x + 50 = 81k \) \( \Rightarrow x = 81k - 50 \)

\( 84k - 90 = 81k - 50 \)

\( 3k = 40 \)

\( k = 40/3 \).

Если же предположить, что \( n \) — количество работ, и средний балл за \( n \) работ — \( \bar{x} \), тогда \( S = n \bar{x} \).

\( \frac{S + 90}{n+1} = 84 \) \( \Rightarrow S + 90 = 84(n+1) \)

\( \frac{S + 50}{n+1} = 81 \) \( \Rightarrow S + 50 = 81(n+1) \)

Вычтем второе уравнение из первого:

\( (S+90) - (S+50) = 84(n+1) - 81(n+1) \)

\( 40 = 3(n+1) \)

\( n+1 = \frac{40}{3} \).

\( n = \frac{40}{3} - 1 = \frac{37}{3} \).

Учитывая, что количество работ должно быть целым, возможно, в задаче опечатка. Проверим, если изменить одно из чисел. Если бы средний балл был 81 при 90 баллах за последнюю, и 80 при 50 баллах.

\( \frac{S + 90}{n+1} = 81 \)

\( \frac{S + 50}{n+1} = 80 \)

\( S + 90 = 81(n+1) \)

\( S + 50 = 80(n+1) \)

Вычитаем:

\( 40 = (81-80)(n+1) = n+1 \)

\( n+1 = 40 \).

\( n = 39 \).

Тогда всего работ \( n+1 = 40 \). Проверим это.

Если всего 40 работ, и средний балл 84, то сумма 84*40 = 3360. Последняя работа 90. Значит, сумма остальных 3360-90 = 3270. Количество остальных работ 39. Средний балл остальных 3270/39 = 83.84. Не сходится.

Вернемся к исходным данным. \( 40 = 3(n+1) \). \( n+1 = 40/3 \). \( n = 37/3 \).

Очевидно, задача содержит ошибку в числах, так как количество работ не может быть дробным. Если предположить, что в задаче есть опечатка и средний балл должен быть таким, чтобы \( 40 \) делилось на \( 3 \), например, если бы разница в среднем балле была 4, а разница в оценке 12.

\( \frac{S + 90}{n+1} = 84 \)

\( \frac{S + 50}{n+1} = 81 \)

\( 40 = 3(n+1) \) - это соотношение всегда будет таким, если разница в средних баллах 3 и разница в последних оценках 40.

Давайте предположим, что студент ДОЛЖЕН выполнить 40 работ. Тогда средний балл за 39 работ будет \( x \).

\( \frac{x + 90}{40} = 84 \) \( \Rightarrow x + 90 = 3360 \) \( \Rightarrow x = 3270 \).

\( \frac{x + 50}{40} = 81 \) \( \Rightarrow x + 50 = 3240 \) \( \Rightarrow x = 3190 \).

\( 3270 ≠ 3190 \).

Значит, 40 работ — это не общее количество.

Единственный вывод, который можно сделать из \( 40 = 3(n+1) \) — это что \( n+1 \) (общее количество работ) должно быть равно \( 40/3 \).

Если задача корректна, то возможно, это задача не на вывод количества работ, а на выражение.

Попытаемся найти ошибку в интерпретации.

Пусть \( k \) — общее количество работ (включая последнюю).

Пусть \( S_{k-1} \) — сумма баллов за \( k-1 \) работ.

\( \frac{S_{k-1} + 90}{k} = 84 \) \( \Rightarrow S_{k-1} = 84k - 90 \) \( (1) \)

\( \frac{S_{k-1} + 50}{k} = 81 \) \( \Rightarrow S_{k-1} = 81k - 50 \) \( (2) \)

Приравниваем (1) и (2):

\( 84k - 90 = 81k - 50 \)

\( 3k = 40 \)

\( k = \frac{40}{3} \).

Эта задача, скорее всего, имеет ошибку в условиях. Однако, если бы задача имела корректные числа, то общее количество работ \( k \) находилось бы так.

Например, если бы средний балл был 85 вместо 84, а 80 вместо 81.

\( \frac{S_{k-1} + 90}{k} = 85 \) \( \Rightarrow S_{k-1} = 85k - 90 \)

\( \frac{S_{k-1} + 50}{k} = 80 \) \( \Rightarrow S_{k-1} = 80k - 50 \)

\( 85k - 90 = 80k - 50 \)

\( 5k = 40 \)

\( k = 8 \).

В этом случае, студент должен был выполнить 8 работ.

Поскольку я обязан дать ответ, и задача имеет некорректные данные, я сообщу об этом.

По условию задачи получается дробное количество работ, что невозможно. Задача, вероятно, содержит ошибку в числах.

Поделись с друзьями