4.1. Обозначим через T пересечение плоскости PQR с ребром SD. Так как P и R делят рёбра SA и SC в одинаковом отношении от вершины A и C, отрезок PR параллелен AC в треугольнике SAC. Аналогично, в треугольнике SBC отрезок QR параллелен BC: точка Q делит SB так, что \(SQ:QB=1:2\), то есть \(BQ:QS=2:1\); следовательно, Q и R не делят соответствующие рёбра одинаково, поэтому для построения найдём пересечения плоскости с рёбрами пирамиды.

В координатах правильной пирамиды возьмём основание квадратом с вершинами \(A=(-1,-1,0)\), \(B=(1,-1,0)\), \(C=(1,1,0)\), \(D=(-1,1,0)\), а вершину \(S=(0,0,1)\). Тогда точки заданы условиями: P находится на SA на одной трети пути от A к S; Q — на SB на одной трети пути от S к B; R — на SC на одной трети пути от C к S. Пересечение плоскости PQR с ребром SD находится на продолжении SD за D, поэтому сечение не является многоугольником внутри пирамиды: его часть в пирамиде — треугольник PQR.

Построение внутри пирамиды: соедините P, Q и R. Для бесконечной плоскости PQR её следы на боковых рёбрах можно продолжить; однако сечением тела пирамиды является именно треугольник PQR.

4.2. Здесь \(SK:KA=3:1\), поэтому K находится на SA ближе к S; \(BL:LS=3:1\), поэтому L находится на SB; \(DM:MS=3:1\), поэтому M находится на SD. Плоскость KLM пересекает основание пирамиды и боковые грани; сечение следует строить, продлевая стороны треугольника KLM до пересечения с гранями, а затем соединяя точки пересечения на рёбрах.

Для точного построения удобно задать вершины координатами \(A=(-1,-1,0)\), \(B=(1,-1,0)\), \(C=(1,1,0)\), \(D=(-1,1,0)\), \(S=(0,0,1)\). Тогда \(K=(-3/4,-3/4,1/4)\), \(L=(1/4,-3/4,3/4)\), \(M=(-3/4,1/4,3/4)\). Составив плоскость через K, L, M и найдя её пересечения с рёбрами пирамиды, получаем точки K, L, M и точки на рёбрах SC и SD; соедините точки в порядке обхода граней. Так строится сечение.

Примечание: в пункте 4.1 плоскость пересекает боковые грани по линиям, которые при продолжении выходят за пределы рёбер; для сечения самого тела учитываются только части линий внутри граней.

Поделись с друзьями