Задание 3. 3.1. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка M лежит на ребре CC₁, причём CM : MC₁ = 1 : 3. а) Постройте точку пересечения прямой A₁M с плоскостью ABC. б) Постройте точку пересечения прямой B₁M с плоскостью ABC. в) Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости ABC и A₁MB₁. 3.2. Дан куб ABCDA₁B₁C₁D₁. Точка N лежит на ребре DD₁, причём DN : ND₁ = 2 : 1. а) Постройте точку пересечения прямой C₁N с плоскостью ABC. б) Постройте точку пересечения прямой A₁N с плоскостью ABC. в) Постройте прямую, по которой пересекаются плоскости ABC и A₁NC₁.

Для описания построений зададим куб координатами: A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), D(0,1,0); верхние вершины имеют те же первые две координаты и координату z = 1. Плоскость ABC — z = 0. Координаты здесь служат способом точно указать результаты построения.

3.1. Из CM : MC₁ = 1 : 3 следует, что M имеет координаты (1,1,1/4).

1. Прямая A₁M пересекает плоскость z = 0 в точке X(4/3, 4/3, 0). Для построения продолжите A₁M за M до пересечения с плоскостью ABC.
2. Прямая B₁M пересекает плоскость z = 0 в точке Y(1, 4/3, 0). Продолжите B₁M за M до пересечения с плоскостью ABC.
3. Точки X и Y принадлежат обеим плоскостям ABC и A₁MB₁. Поэтому искомая прямая пересечения — XY.

3.2. Из DN : ND₁ = 2 : 1 следует, что N имеет координаты (0,1,2/3).

1. Прямая C₁N пересекает плоскость z = 0 в точке U(−2,1,0). Продолжите C₁N за N до пересечения с плоскостью ABC.
2. Прямая A₁N пересекает плоскость z = 0 в точке V(0,3,0). Продолжите A₁N за N до пересечения с плоскостью ABC.
3. Точки U и V принадлежат обеим плоскостям ABC и A₁NC₁. Искомая прямая пересечения — UV.