Задание 4. 4.1. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD на рёбрах SA, SB, SC отмечены точки P, Q, R соответственно так, что AP : PS = SQ : QB = CR : RS = 1 : 2. Постройте сечение пирамиды плоскостью PQR. 4.2. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD на рёбрах SA, SB, SD отмечены точки K, L, M соответственно так, что SK : KA = BL : LS = DM : MS = 3 : 1. Постройте сечение пирамиды плоскостью KLM.

В обоих пунктах сечение строится так: отметьте точки на заданных рёбрах; на каждой грани пирамиды, содержащей две точки секущей плоскости, соедините их; продолжайте стороны сечения на соседние грани, находя пересечения с рёбрами. Точки на рёбрах соединяйте только если они принадлежат одной грани.

4.1. P, Q и R задают секущую плоскость. На грани SAB проведите PQ, на грани SBC — QR. Продолжите эти прямые в плоскостях соответствующих граней до пересечения с прямыми AB и BC; полученные точки лежат на продолжениях рёбер основания. Аналогично продолжите сечение через грани SCD и SDA. Плоскость пересекает основание по прямой, а грани пирамиды — по прямым. Без чертежа или заданного масштаба численные координаты точек пересечения не требуются; однозначное описание сечения — граница многоугольника, последовательно получаемая пересечениями указанных следов с рёбрами.

4.2. K и L лежат на грани SAB, поэтому проведите KL. L и M лежат на грани SBD, поэтому проведите LM. Продолжая эти следы на смежных гранях, находят точки пересечения секущей плоскости с рёбрами пирамиды; последовательное соединение найденных точек по граням даёт границу сечения. Соотношения задают точки: SK : KA = 3 : 1, BL : LS = 3 : 1, DM : MS = 3 : 1. Для точного выполнения графического построения нужна сама пирамида на чертеже: исходное изображение содержит только текст задания, а не чертёж, на котором можно показать полученные точки и стороны сечения.