Область определения: \(x\geq4\). Перенесём один корень: \(\sqrt{3x+4}=2\sqrt{x}-\sqrt{x-4}\). Возведём в квадрат:

\(3x+4=4x+x-4-4\sqrt{x(x-4)}\), откуда \(\sqrt{x(x-4)}=\frac{x}{2}\).

Снова возведём в квадрат: \(x(x-4)=\frac{x^2}{4}\). Тогда \(3x^2-16x=0\), то есть \(x(3x-16)=0\). С учётом \(x\geq4\) остаётся кандидат \(x=\frac{16}{3}\). Проверка подстановкой: \(\sqrt{20}+\sqrt{4/3}=2\sqrt{16/3}\); обе части равны \(4\sqrt5/\sqrt{?}\) Нет, проверим: левая часть \(2\sqrt5+2/\sqrt3\), правая \(8/\sqrt3\), не равны.

Исправим проверку по уравнению после первого возведения: при переносе и квадрате получаем \(3x+4=4x+x-4-4\sqrt{x(x-4)}\), значит \(4\sqrt{x(x-4)}=2x-8\), то есть \(2\sqrt{x(x-4)}=x-4\). Квадратирование даёт \(4x(x-4)=(x-4)^2\), откуда \((x-4)(3x+4)=0\). С учётом области определения единственный кандидат — \(x=4\), и он удовлетворяет исходному уравнению: \(4+0=4\).

Ответ: \(x=4\).

Поделись с друзьями