Решение:

При вращении равнобокой трапеции около большего основания получится тело, состоящее из цилиндра и двух одинаковых конусов по бокам.

Размеры: Большее основание \( a = 18 \) см, меньшее основание \( b = 12 \) см, высота \( h = 4 \) см.
Радиус вращения: Радиус цилиндра и конусов равен высоте трапеции, \( r = h = 4 \) см.
Длина большего основания: \( 18 \) см.
Длина меньшего основания: \( 12 \) см.
Размеры цилиндра: Высота цилиндра \( H_{cyl} \) равна меньшему основанию, \( H_{cyl} = b = 12 \) см. Радиус \( r = 4 \) см.
Объем цилиндра: \( V_{cyl} = \pi r^2 H_{cyl} = \pi \cdot 4^2 \cdot 12 = \pi \cdot 16 \cdot 12 = 192\pi \) см³.
Размеры конусов: Высота каждого конуса равна половине разности оснований: \( H_{cone} = \frac{a - b}{2} = \frac{18 - 12}{2} = \frac{6}{2} = 3 \) см. Радиус \( r = 4 \) см.
Образующая конуса (боковое ребро трапеции): \( L = \sqrt{r^2 + H_{cone}^2} = \sqrt{4^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = \sqrt{25} = 5 \) см.
Объем одного конуса: \( V_{cone} = \frac{1}{3} \pi r^2 H_{cone} = \frac{1}{3} \pi \cdot 4^2 \cdot 3 = \frac{1}{3} \pi \cdot 16 \cdot 3 = 16\pi \) см³.
Общий объем тела вращения: \( V_{total} = V_{cyl} + 2 \cdot V_{cone} = 192\pi + 2 \cdot 16\pi = 192\pi + 32\pi = 224\pi \) см³.
Площадь боковой поверхности одного конуса: \( S_{cone} = \pi r L = \pi \cdot 4 \cdot 5 = 20\pi \) см².
Общая площадь боковой поверхности тела вращения (два конуса): \( S_{total} = 2 \cdot S_{cone} = 2 \cdot 20\pi = 40\pi \) см².

Ответ: Объем тела вращения равен \( 224\pi \) см³, площадь боковой поверхности равна \( 40\pi \) см².

Поделись с друзьями