1. Решите неравенство: x²-6x+5 ------ < 0 x+7

Решение:

Чтобы решить неравенство \( \frac{x^2 - 6x + 5}{x + 7} < 0 \), найдём корни числителя и знаменателя.

1. Корни числителя: \( x^2 - 6x + 5 = 0 \)

\( D = (-6)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 5 = 36 - 20 = 16 \)
\( x_1 = \frac{6 + \sqrt{16}}{2} = \frac{6 + 4}{2} = 5 \)
\( x_2 = \frac{6 - \sqrt{16}}{2} = \frac{6 - 4}{2} = 1 \)

2. Корень знаменателя: \( x + 7 = 0 \) \( \Rightarrow x = -7 \).
3. Нанесём корни на числовую прямую: -7, 1, 5. Они разбивают прямую на четыре интервала: \( (-\infty, -7) \), \( (-7, 1) \), \( (1, 5) \), \( (5, +\infty) \).
4. Проверим знак выражения в каждом интервале:
• \( x < -7 \) (например, x = -8): \( \frac{(-8)^2 - 6(-8) + 5}{-8 + 7} = \frac{64 + 48 + 5}{-1} = \frac{117}{-1} < 0 \)
• \( -7 < x < 1 \) (например, x = 0): \( \frac{0^2 - 6(0) + 5}{0 + 7} = \frac{5}{7} > 0 \)
• \( 1 < x < 5 \) (например, x = 2): \( \frac{2^2 - 6(2) + 5}{2 + 7} = \frac{4 - 12 + 5}{9} = \frac{-3}{9} < 0 \)
• \( x > 5 \) (например, x = 6): \( \frac{6^2 - 6(6) + 5}{6 + 7} = \frac{36 - 36 + 5}{13} = \frac{5}{13} > 0 \)
5. Нам нужны интервалы, где выражение < 0. Это \( (-\infty, -7) \) и \( (1, 5) \).

Ответ: \( x \in (-\infty, -7) \cup (1, 5) \).