9. Найти сумму, разность, произведение и частное комплексных чисел z₁ = 3 + 2i, z₂ = -1 + 3i

Решение:

Даны комплексные числа \( z_1 = 3 + 2i \) и \( z_2 = -1 + 3i \).

Сумма:

\( z_1 + z_2 = (3 + 2i) + (-1 + 3i) = (3 - 1) + (2 + 3)i = 2 + 5i \).

Разность:

\( z_1 - z_2 = (3 + 2i) - (-1 + 3i) = 3 + 2i + 1 - 3i = (3 + 1) + (2 - 3)i = 4 - i \).

Произведение:

\( z_1 \cdot z_2 = (3 + 2i)(-1 + 3i) = 3(-1) + 3(3i) + 2i(-1) + 2i(3i) \)

\( = -3 + 9i - 2i + 6i^2 \)

Так как \( i^2 = -1 \), то \( 6i^2 = -6 \).

\( = -3 + 7i - 6 = -9 + 7i \).

Частное:

\( \frac{z_1}{z_2} = \frac{3 + 2i}{-1 + 3i} \)

Умножим числитель и знаменатель на сопряженное к знаменателю число \( (-1 - 3i) \):

\( \frac{(3 + 2i)(-1 - 3i)}{(-1 + 3i)(-1 - 3i)} = \frac{3(-1) + 3(-3i) + 2i(-1) + 2i(-3i)}{(-1)^2 - (3i)^2} \)

\( = \frac{-3 - 9i - 2i - 6i^2}{1 - 9i^2} = \frac{-3 - 11i - 6(-1)}{1 - 9(-1)} = \frac{-3 - 11i + 6}{1 + 9} \)

\( = \frac{3 - 11i}{10} = \frac{3}{10} - \frac{11}{10}i \).

Ответ: Сумма: \( 2 + 5i \), Разность: \( 4 - i \), Произведение: \( -9 + 7i \), Частное: \( 0.3 - 1.1i \).