3. Решите уравнение √x - 2 = x - 4.

Решение:

Чтобы решить иррациональное уравнение \( \sqrt{x-2} = x-4 \), возведём обе части в квадрат.

1. Возведём обе части уравнения в квадрат: \( (\sqrt{x-2})^2 = (x-4)^2 \) \( \Rightarrow x-2 = x^2 - 8x + 16 \).
2. Перенесём все члены в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение: \( x^2 - 8x + 16 - x + 2 = 0 \) \( \Rightarrow x^2 - 9x + 18 = 0 \).
3. Решим квадратное уравнение. Найдем дискриминант: \( D = (-9)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 18 = 81 - 72 = 9 \).
4. Найдём корни: \( x_1 = \frac{9 + \sqrt{9}}{2} = \frac{9 + 3}{2} = 6 \) \( x_2 = \frac{9 - \sqrt{9}}{2} = \frac{9 - 3}{2} = 3 \).
5. Проверим полученные корни в исходном уравнении, так как при возведении в квадрат могли появиться посторонние корни.
• Для \( x = 6 \): \( \sqrt{6-2} = 6-4 \) \( \Rightarrow \sqrt{4} = 2 \) \( \Rightarrow 2 = 2 \). Верно.
• Для \( x = 3 \): \( \sqrt{3-2} = 3-4 \) \( \Rightarrow \sqrt{1} = -1 \) \( \Rightarrow 1 = -1 \). Неверно.

Ответ: \( x = 6 \).