14. Вычислите определенный интеграл: ∫ -1 0 (x²-2x)(3-2x)dx

Решение:

Вычислим определенный интеграл \( \int_{-1}^{0} (x^2 - 2x)(3 - 2x) dx \).

1. Раскроем скобки в подынтегральной функции:
\( (x^2 - 2x)(3 - 2x) = x^2 \cdot 3 + x^2 \cdot (-2x) - 2x \cdot 3 - 2x \cdot (-2x) \) \( = 3x^2 - 2x^3 - 6x + 4x^2 \) \( = -2x^3 + 7x^2 - 6x \).
2. Теперь вычислим интеграл от полученного многочлена:
\( \int_{-1}^{0} (-2x^3 + 7x^2 - 6x) dx \).
3. Найдем первообразную:
\( \int (-2x^3 + 7x^2 - 6x) dx = -2 \frac{x^4}{4} + 7 \frac{x^3}{3} - 6 \frac{x^2}{2} + C = -\frac{1}{2}x^4 + \frac{7}{3}x^3 - 3x^2 + C \).
4. Применим формулу Ньютона-Лейбница: \( F(b) - F(a) \), где \( a = -1 \) и \( b = 0 \).
5. Подставим верхний предел (0):
\( F(0) = -\frac{1}{2}(0)^4 + \frac{7}{3}(0)^3 - 3(0)^2 = 0 \).
6. Подставим нижний предел (-1):
\( F(-1) = -\frac{1}{2}(-1)^4 + \frac{7}{3}(-1)^3 - 3(-1)^2 = -\frac{1}{2}(1) + \frac{7}{3}(-1) - 3(1) = -\frac{1}{2} - \frac{7}{3} - 3 \).
7. Приведём к общему знаменателю (6):
\( F(-1) = -\frac{3}{6} - \frac{14}{6} - \frac{18}{6} = \frac{-3 - 14 - 18}{6} = \frac{-35}{6} \).
8. Вычислим разность: \( F(0) - F(-1) = 0 - (-\frac{35}{6}) = \frac{35}{6} \).

Ответ: \( \frac{35}{6} \).