а) Неравенство Бернулли верно при натуральном \(n\) и \(x\geq-1\). Докажем по индукции. При \(n=1\) имеем равенство. Предположим, что \((1+x)^n\geq1+nx\). Поскольку \(1+x\geq0\), умножаем на \(1+x\): \((1+x)^{n+1}\geq(1+nx)(1+x)=1+(n+1)x+nx^2\geq1+(n+1)x\). Последний переход верен, так как \(nx^2\geq0\). Следовательно, неравенство доказано для всех натуральных \(n\).
б) По биному Ньютона все отброшенные члены положительны, поэтому \(\left(1+\frac1{11}\right)^{22}>1+\frac{22}{11}=3\).
в) По биному Ньютона, учитывая также положительный член второго порядка, \((1{,}02)^{50}>1+50\cdot0{,}02=2\).
г) По неравенству Бернулли: \((1{,}03)^{90}\geq1+90\cdot0{,}03=3{,}7\) и \((1{,}09)^{30}\geq1+30\cdot0{,}09=3{,}7\). Значит, произведение не меньше \(3{,}7^2=\frac{1369}{100}\). При этом \(\frac{1369}{100}>\frac{121}{9}=\left(\frac{11}{3}\right)^2\), так как \(1369\cdot9=12321>12100=121\cdot100\).
д) По формуле бинома Ньютона \((3+4)^{20}=3^{20}+4^{20}+\) положительные смешанные члены. Следовательно, \(3^{20}+4^{20}<7^{20}\). Однако в условии справа стоит \(5^{20}\), поэтому приведённый довод не доказывает требуемое. Более того, само неравенство неверно: \(4^{20}> (5/2)^{20}\) и при проверке исходного утверждения можно заметить, что \(3^{20}+4^{20}<5^{20}\) действительно выполняется. Доказательство: \(3^{20}<3\cdot4^{19}\), а \(3\cdot4^{19}+4^{20}=7\cdot4^{19}\) не даёт нужной оценки; используем биномиальное разложение \(5^{20}=(3+2)^{20}\) недостаточно для прямого сравнения. Заметим точнее: \(3^{20}+4^{20}=4^{20}\left(1+(3/4)^{20}\right)\), тогда как \(5^{20}=4^{20}(5/4)^{20}\). По биному Ньютона \((5/4)^{20}=(1+1/4)^{20}>1+20/4=6\), а \((3/4)^{20}<1\); значит, \(1+(3/4)^{20}<2<6<(5/4)^{20}\). Следовательно, \(3^{20}+4^{20}<5^{20}\).
е) Сначала по биному Ньютона \((2+3)^{15}>2^{15}+3^{15}\), поскольку есть положительные смешанные члены. Также \(6^{15}=(5+1)^{15}>5^{15}+15\cdot5^{14}>2\cdot5^{15}\), так как \(15>5\). Поэтому \(2^{15}+3^{15}+5^{15}<2\cdot5^{15}<6^{15}\).

Поделись с друзьями