6. Докажите, что: (2^√5 − 5)(3 − (1,04)⁵⁰) > 0.

Покажем, что оба множителя отрицательны. Так как \(\sqrt5<\frac94\) (ведь \(5<\frac{81}{16}\)), а основание 2 больше 1, то \(2^{\sqrt5}<2^{9/4}<5\). Последнее неравенство следует из \(2^9=512<625=5^4\). Значит, \(2^{\sqrt5}-5<0\).

По биному Ньютона, учитывая положительный член второго порядка, \((1{,}04)^{50}>1+50\cdot0{,}04=3\). Поэтому \(3-(1{,}04)^{50}<0\).

Произведение двух отрицательных множителей положительно. Следовательно, \((2^{\sqrt5}-5)(3-(1{,}04)^{50})>0\).