4. Докажите, что: а) 2^√3 > 3; б) 2^(log₃ 4) < 3; в) (√5)^(2 + √3) < 30; г) 3^√2 > 4; д) 5^(log₃ 2) < 4; е) (√3)^(4 + √2) > 30.

а) \(\sqrt3>\frac53\), так как \(3>\frac{25}{9}\). Поэтому \(2^{\sqrt3}>2^{5/3}>3\): последнее неравенство верно, поскольку \(2^5=32>27=3^3\).

б) Из \(2<3^{2/3}\) (равносильно \(8<9\)) следует \(\log_3 2<\frac23\). Тогда \(2^{\log_3 4}=2^{2\log_3 2}<2^{4/3}<3\), поскольку \(2^4=16<27=3^3\).

в) Так как \(\sqrt3<2\), то \(2+\sqrt3<4\). Основание \(\sqrt5>1\), поэтому \((\sqrt5)^{2+\sqrt3}< (\sqrt5)^4=25<30\).

г) \(\sqrt2>\frac43\), так как \(2>\frac{16}{9}\). Значит, \(3^{\sqrt2}>3^{4/3}>4\), поскольку \(3^4=81>64=4^3\).

д) Как показано в пункте б), \(\log_3 2<\frac23\). Следовательно, \(5^{\log_3 2}<5^{2/3}<4\), так как \(5^2=25<64=4^3\).

е) В условии, по-видимому, ошибка: заявленное неравенство неверно. Действительно, \(\sqrt2<\frac32\), поэтому \(4+\sqrt2<\frac{11}{2}<6\). Так как \(\sqrt3>1\), имеем \((\sqrt3)^{4+\sqrt2}< (\sqrt3)^6=27<30\). Значит, указанное выражение меньше 30, а не больше.