Пусть \( v \) — скорость теплохода в неподвижной воде (км/ч).

Скорость течения реки \( v_{\text{теч}} = 2 \) км/ч.

Расстояние до пункта назначения \( S = 80 \) км.

Время стоянки \( t_{\text{стоянки}} = 4 \) часа.

Общее время в пути \( T = 13 \) часов.

Скорость теплохода по течению: \( v_{\text{по теч}} = v + v_{\text{теч}} = v + 2 \) км/ч.

Скорость теплохода против течения: \( v_{\text{против теч}} = v - v_{\text{теч}} = v - 2 \) км/ч.

Время движения по течению: \( t_{\text{по теч}} = \frac{S}{v_{\text{по теч}}} = \frac{80}{v + 2} \) часа.

Время движения против течения: \( t_{\text{против теч}} = \frac{S}{v_{\text{против теч}}} = \frac{80}{v - 2} \) часа.

Общее время в пути складывается из времени движения по течению, времени движения против течения и времени стоянки:

\( T = t_{\text{по теч}} + t_{\text{против теч}} + t_{\text{стоянки}} \)

\( 13 = \frac{80}{v + 2} + \frac{80}{v - 2} + 4 \)

Вычтем время стоянки из общего времени:

\( 13 - 4 = \frac{80}{v + 2} + \frac{80}{v - 2} \)

\( 9 = \frac{80(v - 2) + 80(v + 2)}{(v + 2)(v - 2)} \)

\( 9 = \frac{80v - 160 + 80v + 160}{v^2 - 4} \)

\( 9 = \frac{160v}{v^2 - 4} \)

Умножим обе части на \( v^2 - 4 \):

\( 9(v^2 - 4) = 160v \)

\( 9v^2 - 36 = 160v \)

Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:

\( 9v^2 - 160v - 36 = 0 \)

Решим это квадратное уравнение:

Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-160)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 25600 + 1296 = 26896 \)

\( \sqrt{D} = \sqrt{26896} = 164 \)

Найдем корни \( v \):

\( v_1 = \frac{160 + 164}{2 \cdot 9} = \frac{324}{18} = 18 \)

\( v_2 = \frac{160 - 164}{2 \cdot 9} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9} \)

Так как скорость не может быть отрицательной, отбрасываем \( v_2 \).

Скорость теплохода в неподвижной воде равна 18 км/ч.

Проверим условие: \( v = 18 \) км/ч. \( v - 2 = 16 \) км/ч, \( v + 2 = 20 \) км/ч.

Время по течению: \( \frac{80}{20} = 4 \) часа.

Время против течения: \( \frac{80}{16} = 5 \) часов.

Общее время: \( 4 + 5 + 4 \) (стоянка) \( = 13 \) часов. Условие выполняется.

Ответ: 18 км/ч.

Поделись с друзьями