5. Постройте график функции y = -x² - 2x. Укажите, при каких значениях x функция принимает отрицательные значения.

Решение:

Построим график функции \( y = -x^2 - 2x \).

Это парабола, ветви которой направлены вниз, так как коэффициент при \( x^2 \) отрицательный (\( -1 \)).

Найдем координаты вершины параболы. Абсцисса вершины \( x_0 \) вычисляется по формуле \( x_0 = -\frac{b}{2a} \).

В данном случае \( a = -1 \), \( b = -2 \).

\( x_0 = -\frac{-2}{2 \cdot (-1)} = -\frac{-2}{-2} = -1 \)

Найдем ординату вершины \( y_0 \), подставив \( x_0 = -1 \) в уравнение функции:

\( y_0 = -(-1)^2 - 2(-1) = -(1) + 2 = -1 + 2 = 1 \)

Вершина параболы находится в точке \( (-1, 1) \).

Найдем точки пересечения параболы с осью \( Ox \), приравняв \( y = 0 \):

\( -x^2 - 2x = 0 \)

\( -x(x + 2) = 0 \)

Отсюда \( x = 0 \) или \( x + 2 = 0 \Rightarrow x = -2 \).

Точки пересечения с \( Ox \): \( (0, 0) \) и \( (-2, 0) \).

Найдем точки пересечения с осью \( Oy \), подставив \( x = 0 \):

\( y = -(0)^2 - 2(0) = 0 \)

Точка пересечения с \( Oy \): \( (0, 0) \).

Построим график, используя найденные точки: вершину \( (-1, 1) \) и точки пересечения \( (0, 0) \) и \( (-2, 0) \). Ветви параболы направлены вниз.

Функция принимает отрицательные значения, когда её график находится ниже оси \( Ox \). Это происходит при \( x < -2 \) и \( x > 0 \).

Ответ: Функция принимает отрицательные значения при \( x < -2 \) и \( x > 0 \).