Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
Математика
Ответ:
Решение:
Пусть \( v \) — скорость теплохода в неподвижной воде (км/ч).
Скорость течения реки \( v_{\text{теч}} = 2 \) км/ч.
Расстояние до пункта назначения \( S = 80 \) км.
Время стоянки \( t_{\text{стоянки}} = 4 \) часа.
Общее время в пути \( T = 13 \) часов.
Скорость теплохода по течению: \( v_{\text{по теч}} = v + v_{\text{теч}} = v + 2 \) км/ч.
Скорость теплохода против течения: \( v_{\text{против теч}} = v - v_{\text{теч}} = v - 2 \) км/ч.
Время движения по течению: \( t_{\text{по теч}} = \frac{S}{v_{\text{по теч}}} = \frac{80}{v + 2} \) часа.
Время движения против течения: \( t_{\text{против теч}} = \frac{S}{v_{\text{против теч}}} = \frac{80}{v - 2} \) часа.
Общее время в пути складывается из времени движения по течению, времени движения против течения и времени стоянки:
\( T = t_{\text{по теч}} + t_{\text{против теч}} + t_{\text{стоянки}} \)
\( 13 = \frac{80}{v + 2} + \frac{80}{v - 2} + 4 \)
Вычтем время стоянки из общего времени:
\( 13 - 4 = \frac{80}{v + 2} + \frac{80}{v - 2} \)
\( 9 = \frac{80(v - 2) + 80(v + 2)}{(v + 2)(v - 2)} \)
\( 9 = \frac{80v - 160 + 80v + 160}{v^2 - 4} \)
\( 9 = \frac{160v}{v^2 - 4} \)
Умножим обе части на \( v^2 - 4 \):
\( 9(v^2 - 4) = 160v \)
\( 9v^2 - 36 = 160v \)
Перенесём всё в одну сторону, чтобы получить квадратное уравнение:
\( 9v^2 - 160v - 36 = 0 \)
Решим это квадратное уравнение:
Дискриминант \( D = b^2 - 4ac = (-160)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 25600 + 1296 = 26896 \)
\( \sqrt{D} = \sqrt{26896} = 164 \)
Найдем корни \( v \):
\( v_1 = \frac{160 + 164}{2 \cdot 9} = \frac{324}{18} = 18 \)
\( v_2 = \frac{160 - 164}{2 \cdot 9} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9} \)
Так как скорость не может быть отрицательной, отбрасываем \( v_2 \).
Скорость теплохода в неподвижной воде равна 18 км/ч.
Проверим условие: \( v = 18 \) км/ч. \( v - 2 = 16 \) км/ч, \( v + 2 = 20 \) км/ч.
Время по течению: \( \frac{80}{20} = 4 \) часа.
Время против течения: \( \frac{80}{16} = 5 \) часов.
Общее время: \( 4 + 5 + 4 \) (стоянка) \( = 13 \) часов. Условие выполняется.
Ответ: 18 км/ч.
