7. Теплоход проходит по течению реки до пункта назначения 80 км и после стоянки возвращается в пункт отправления. Найдите скорость теплохода в неподвижной воде, если скорость течения равна 2 км/ч, стоянка длится 4 часа, а в пункт отправления теплоход возвращается через 13 часов.

Решение:

Пусть \(x\) — скорость теплохода в неподвижной воде (км/ч).

Скорость теплохода по течению: \(x + 2\) км/ч.

Скорость теплохода против течения: \(x - 2\) км/ч.

Время в пути по течению: \(t_1 = \frac{80}{x+2}\) часов.

Время в пути против течения: \(t_2 = \frac{80}{x-2}\) часов.

Общее время в пути (без учета стоянки) равно общему времени в пути минус время стоянки: \(13 - 4 = 9\) часов.

Составим уравнение:

\(\frac{80}{x+2} + \frac{80}{x-2} = 9\)

Умножим обе части уравнения на \((x+2)(x-2)\) чтобы избавиться от знаменателей:

\(80(x-2) + 80(x+2) = 9(x+2)(x-2)\)

\(80x - 160 + 80x + 160 = 9(x^2 - 4)\)

\(160x = 9x^2 - 36\)

\(9x^2 - 160x - 36 = 0\)

Решим квадратное уравнение. Дискриминант \(D = (-160)^2 - 4 \cdot 9 \cdot (-36) = 25600 + 1296 = 26896\).

\(\sqrt{D} = \sqrt{26896} = 164\).

Найдем корни:

\(x_1 = \frac{160 + 164}{2 \cdot 9} = \frac{324}{18} = 18\)

\(x_2 = \frac{160 - 164}{2 \cdot 9} = \frac{-4}{18} = -\frac{2}{9}\)

Так как скорость не может быть отрицательной, выбираем положительный корень.

Ответ: 18 км/ч