8. Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 9, а ее периметр равен 26. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть основания трапеции \(a = 9\) и \(b = 4\).

Периметр трапеции \(P = a + b + 2c\), где \(c\) — боковая сторона.

\(26 = 9 + 4 + 2c\)

\(26 = 13 + 2c\)

\(2c = 26 - 13 = 13\)

\(c = \frac{13}{2} = 6.5\)

Теперь найдем высоту трапеции. Опустим высоту из концов меньшего основания на большее. Получится прямоугольник и два равных прямоугольных треугольника. Катеты этих треугольников равны:

\(x = \frac{a - b}{2} = \frac{9 - 4}{2} = \frac{5}{2} = 2.5\)

В прямоугольном треугольнике катеты — это высота \(h\) и \(x\), а гипотенуза — боковая сторона \(c\).

По теореме Пифагора: \(h^2 + x^2 = c^2\)

\(h^2 + (2.5)^2 = (6.5)^2\)

\(h^2 + 6.25 = 42.25\)

\(h^2 = 42.25 - 6.25 = 36\)

\(h = \sqrt{36} = 6\)

Площадь трапеции находится по формуле \(S = \frac{a+b}{2} \cdot h\).

\(S = \frac{9+4}{2} \cdot 6 = \frac{13}{2} \cdot 6 = 13 \cdot 3 = 39\)

Ответ: 39