8. Основания равнобедренной трапеции равны 4 и 9, а ее периметр равен 26. Найдите площадь трапеции.

Решение:

Пусть \( a = 9 \) и \( b = 4 \) — основания равнобедренной трапеции.

Периметр трапеции \( P = 26 \).

В равнобедренной трапеции боковые стороны равны. Пусть \( c \) — длина боковой стороны.

Периметр трапеции равен сумме всех сторон: \( P = a + b + 2c \).

Подставим известные значения:

\( 26 = 9 + 4 + 2c \)

\( 26 = 13 + 2c \)

\( 2c = 26 - 13 \)

\( 2c = 13 \)

\( c = \frac{13}{2} = 6,5 \) (длина боковой стороны).

Теперь найдем высоту трапеции \( h \).

Опустим высоту из концов меньшего основания на большее. Получатся два прямоугольных треугольника. Основание большего основания разделится на три части: \( \frac{a - b}{2} \), \( b \), \( \frac{a - b}{2} \).

Длина отрезка, на который опирается высота в прямоугольном треугольнике, равна:

\( x = \frac{a - b}{2} = \frac{9 - 4}{2} = \frac{5}{2} = 2,5 \)

В прямоугольном треугольнике катетами являются высота \( h \) и отрезок \( x \), а гипотенузой — боковая сторона \( c \).

По теореме Пифагора: \( c^2 = h^2 + x^2 \).

\( (6,5)^2 = h^2 + (2,5)^2 \)

\( 42,25 = h^2 + 6,25 \)

\( h^2 = 42,25 - 6,25 = 36 \)

\( h = \sqrt{36} = 6 \) (высота трапеции).

Площадь трапеции вычисляется по формуле: \( S = \frac{a + b}{2} \cdot h \).

Подставим значения:

\( S = \frac{9 + 4}{2} \cdot 6 \)

\( S = \frac{13}{2} \cdot 6 \)

\( S = 13 \cdot 3 = 39 \)

Ответ: 39.