В треугольнике BHC \( \angle BHC = 90^{\circ} \). BM — медиана, значит, M — середина AC. BH — высота.

По условию \( BC = BM \). Это означает, что треугольник BMC равнобедренный с основанием BC.

Рассмотрим треугольник BHC. \( \angle BHC = 90^{\circ} \). Гипотенуза BC.

Рассмотрим треугольник BMC. Так как \( BC = BM \), то \( \angle BCM = \angle B M C \).

В треугольнике BHC, \( \angle BHC = 90^{\circ} \). Угол \( \angle C = \angle ACB \).

В треугольнике ABC, M — середина AC, \( AC = 84 \), значит \( MC = \frac{84}{2} = 42 \).

Так как \( BC = BM \), то \( MC = 42 \) также является стороной равнобедренного треугольника BMC.

В равнобедренном треугольнике BMC, \( \angle MBC = \angle MCB = \angle C \).

В прямоугольном треугольнике BHC, \( \angle HBC = 90^{\circ} - \angle C \).

Рассмотрим треугольник ABC. \( \angle ABC = \angle ABH + \angle HBC \).

В прямоугольном треугольнике BHC, \( HC = BC \cos C \).

В равнобедренном треугольнике BMC, \( BC = BM = 42 \).

Если \( BC = BM \), то точка M лежит на окружности с центром B и радиусом BM. Также точка C лежит на этой окружности.

В треугольнике BHC: \( HC = BC \cos C \).

Рассмотрим треугольник ABC. BM — медиана. По теореме о медиане (или используя теорему косинусов), но это сложно.

Вернёмся к \( BC = BM \). В прямоугольном треугольнике BHC, \( HC = BC \cos C \).

В равнобедренном треугольнике BMC, \( BC = BM = 42 \). Угол \( \angle BCM = \angle C \).

В треугольнике BHC, \( BH = BC \sin C \).

Так как \( BC = BM \), треугольник BCM — равнобедренный. Угол \( \angle MBC = \angle MCB = \angle C \).

Угол \( \angle B M C = 180^{\circ} - 2 \angle C \).

Угол \( \angle AMB = 180^{\circ} - \angle B M C = 180^{\circ} - (180^{\circ} - 2 \angle C) = 2 \angle C \).

В прямоугольном треугольнике ABH, \( \angle BAH = 90^{\circ} - \angle ABC \).

Рассмотрим треугольник ABM. Углы: \( \angle A \), \( \angle ABM \), \( \angle AMB = 2 \angle C \).

\( \angle A + \angle ABM + 2 \angle C = 180^{\circ} \).

В треугольнике ABC: \( \angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ} \).

\( \angle ABC = \angle ABM + \angle MBC = \angle ABM + \angle C \).

\( \angle A + \angle ABM + \angle C + \angle C = 180^{\circ} \).

\( \angle A + \angle ABM + 2 \angle C = 180^{\circ} \).

Это совпадает с условием для треугольника ABM. Значит, \( \angle ABM = \angle A \).

Если \( \angle ABM = \angle A \), то треугольник ABM равнобедренный с основанием BM.

Если \( \angle A = \angle ABM \), то \( \angle A = \angle ABC - \angle C \).

\( \angle A = \angle A + \angle C - \angle C \) (это не помогает).

Рассмотрим прямоугольный треугольник BHC. \( HC = BC \cos C \).

В равнобедренном треугольнике BCM, \( BC = BM = 42 \).

В треугольнике BHC, \( BH = BC \sin C \).

В треугольнике ABH, \( AH = AB \cos A \).

Если \( BC = BM \), то точка M является центром окружности, проходящей через B и C.

В прямоугольном треугольнике BHC, \( BH^2 = BC^2 - HC^2 \).

В треугольнике ABM, \( AM = MC = 42 \).

Если \( BC = BM \), то \( \triangle BCM \) равнобедренный. \( \angle MBC = \angle MCB = \angle C \).

Так как BM — медиана, \( AM = MC = 42 \).

В \( \triangle BHC \), \( \angle BHC = 90^{\circ} \).

Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( \angle A + \angle ABC + \angle C = 180^{\circ} \).

\( \angle ABC = \angle ABM + \angle MBC = \angle ABM + \angle C \).

\( \angle A + \angle ABM + \angle C + \angle C = 180^{\circ} \).

В \( \triangle ABM \): \( \angle AMB = 180^{\circ} - \angle BMC \).

В \( \triangle BMC \), \( \angle BMC = 180^{\circ} - 2\angle C \).

\( \angle AMB = 180^{\circ} - (180^{\circ} - 2\angle C) = 2\angle C \).

В \( \triangle ABM \): \( \angle A + \angle ABM + 2\angle C = 180^{\circ} \).

Сравнивая \( \angle A + \angle ABM + 2\angle C = 180^{\circ} \) и \( \angle A + \angle ABM + \angle C + \angle C = 180^{\circ} \), мы видим, что они идентичны.

Если \( \angle ABM = \angle A \), то \( \triangle ABM \) равнобедренный.

\( AM = BM \).

Мы знаем, что \( AM = 42 \) и \( BM = BC = 42 \).

Таким образом, \( AM = BM = MC = 42 \).

В \( \triangle BHC \) \( \angle BHC = 90^{\circ} \). \( HC = BC \cos C \).

В \( \triangle ABH \) \( \angle AHB = 90^{\circ} \).

Так как \( AM = 42 \) и M — середина AC, то \( AH \) должно быть равно 42.

Ответ: 42

Поделись с друзьями