Неравенство с переменной в знаменателе.

Найдем корни числителя и знаменателя. Числитель равен 0 при \( x^2-9=0 \Rightarrow x = \pm 3 \). Знаменатель не может быть равен 0, поэтому \( 2x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2.5 \).
Корни: \( x=-3, x=3, x=2.5 \). Они разбивают числовую прямую на четыре интервала: \( (-\infty; -3] \), \( [-3; 2.5) \), \( (2.5; 3] \), \( [3; +\infty) \). Отметим, что \( x=2.5 \) не входит в область определения.
Проверим знак выражения \( \frac{x^2-9}{2x-5} \) в каждом интервале:
- При \( x < -3 \) (например, \( x = -4 \)): \( \frac{(-4)^2-9}{2(-4)-5} = \frac{16-9}{-8-5} = \frac{7}{-13} < 0 \)
- При \( -3 \leq x < 2.5 \) (например, \( x = 0 \)): \( \frac{0^2-9}{2(0)-5} = \frac{-9}{-5} = 1.8 > 0 \)
- При \( 2.5 < x \leq 3 \) (например, \( x = 2.7 \)): \( \frac{(2.7)^2-9}{2(2.7)-5} = \frac{7.29-9}{5.4-5} = \frac{-1.71}{0.4} < 0 \)
- При \( x \geq 3 \) (например, \( x = 4 \)): \( \frac{4^2-9}{2(4)-5} = \frac{16-9}{8-5} = \frac{7}{3} > 0 \)
Неравенство \( \frac{x^2-9}{2x-5} \geq 0 \) выполняется, когда выражение положительно или равно нулю (числитель равен нулю).

Ответ: \( [-3; 2.5) \cup [3; +\infty) \).

Поделись с друзьями