3. $\frac{x-1}{x+4} \leq 0$

Question

$Фото задания: 3. $\frac{x-1}{x+4} \leq 0$$ Фото задания

Accepted Answer

Неравенство с переменной в знаменателе.

Найдем корни числителя и знаменателя. Числитель равен 0 при $ x=1 $. Знаменатель не может быть равен 0, поэтому $ x \neq -4 $.
Корни $ x=1 $ и $ x=-4 $ разбивают числовую прямую на три интервала: $ (-\infty; -4) $, $ (-4; 1] $, $ [1; +\infty) $. Обратите внимание, что $ x=-4 $ — граничная точка, но она не входит в область определения.
Проверим знак выражения $ \frac{x-1}{x+4} $ в каждом интервале:
- При $ x < -4 $ (например, $ x = -5 $): $ \frac{-5-1}{-5+4} = \frac{-6}{-1} = 6 > 0 $
- При $ -4 < x \leq 1 $ (например, $ x = 0 $): $ \frac{0-1}{0+4} = \frac{-1}{4} < 0 $
- При $ x > 1 $ (например, $ x = 2 $): $ \frac{2-1}{2+4} = \frac{1}{6} > 0 $
Неравенство $ \frac{x-1}{x+4} \leq 0 $ выполняется, когда выражение отрицательно или равно нулю (числитель равен нулю).

Ответ: $ (-4; 1] $.

3. \(\frac{x-1}{x+4} \leq 0\)