5. $\frac{x^2-9}{2x-5} \geq 0$

Question

$Фото задания: 5. $\frac{x^2-9}{2x-5} \geq 0$$ Фото задания

Accepted Answer

Неравенство с переменной в знаменателе.

Найдем корни числителя и знаменателя. Числитель равен 0 при $ x^2-9=0 \Rightarrow x = \pm 3 $. Знаменатель не может быть равен 0, поэтому $ 2x-5 \neq 0 \Rightarrow x \neq 2.5 $.
Корни: $ x=-3, x=3, x=2.5 $. Они разбивают числовую прямую на четыре интервала: $ (-\infty; -3] $, $ [-3; 2.5) $, $ (2.5; 3] $, $ [3; +\infty) $. Отметим, что $ x=2.5 $ не входит в область определения.
Проверим знак выражения $ \frac{x^2-9}{2x-5} $ в каждом интервале:
- При $ x < -3 $ (например, $ x = -4 $): $ \frac{(-4)^2-9}{2(-4)-5} = \frac{16-9}{-8-5} = \frac{7}{-13} < 0 $
- При $ -3 \leq x < 2.5 $ (например, $ x = 0 $): $ \frac{0^2-9}{2(0)-5} = \frac{-9}{-5} = 1.8 > 0 $
- При $ 2.5 < x \leq 3 $ (например, $ x = 2.7 $): $ \frac{(2.7)^2-9}{2(2.7)-5} = \frac{7.29-9}{5.4-5} = \frac{-1.71}{0.4} < 0 $
- При $ x \geq 3 $ (например, $ x = 4 $): $ \frac{4^2-9}{2(4)-5} = \frac{16-9}{8-5} = \frac{7}{3} > 0 $
Неравенство $ \frac{x^2-9}{2x-5} \geq 0 $ выполняется, когда выражение положительно или равно нулю (числитель равен нулю).

Ответ: $ [-3; 2.5) \cup [3; +\infty) $.

5. \(\frac{x^2-9}{2x-5} \geq 0\)