Точки A, C и E — точки касания окружности с соответствующими прямыми. Из одной точки к окружности отрезки касательных равны, поэтому AB = BC и CD = DE.

Пусть r — радиус окружности, а t — длина касательной от внешней точки до точки касания. Перпендикуляр к касательной и биссектриса угла между касательными образуют прямоугольный треугольник, поэтому для угла θ между касательными выполняется tan(θ/2) = r/t. Радиус окружности одинаков, а углы ABC и CDE равны. Значит, соответствующие длины касательных равны: AB = CD. Вместе с AB = BC и CD = DE получаем AB = BC = CD = DE.
Обозначим длину радиуса через r. Для каждой вершины, из которой проведены две касательные, tan(угла между ними/2) = r/(длина касательной). Из равенств AB = BC и CD = DE следует, что длины касательных от вершин B и D равны: AB = CD. Следовательно, тангенсы половин углов ABC и CDE равны. Эти углы острые, поэтому ∠ABC = ∠CDE.

Поделись с друзьями