9. 1) Дано: ∠ABC = ∠CDE. Доказать: AB = BC = CD = DE. 2) Дано: AB = BC = CD = DE. Доказать: ∠ABC = ∠CDE.

1) Точки \(A,C,E\) — точки касания, а \(BA\), \(BC\), \(CD\), \(DE\) — касательные к окружности; точки \(B,C,D\) лежат на одной касательной в точке \(C\).

1. Из одной точки к окружности можно провести две равные касательные. Поэтому \(AB=BC\), так как касательные проведены из точки \(B\).
2. Аналогично, \(CD=DE\), так как касательные проведены из точки \(D\).
3. Угол между двумя касательными равен \(180^\circ\) минус центральный угол, опирающийся на дугу между точками касания. Поэтому из условия \(\angle ABC=\angle CDE\) следует равенство соответствующих дуг \(AC\) и \(CE\).
4. Равные дуги стягиваются равными хордами, а равные дуги дают равные пары касательных. Следовательно, равны касательные отрезки \(BC\) и \(CD\).
5. Таким образом, \(AB=BC=CD=DE\).

2) Если \(AB=BC=CD=DE\), то из равенств \(AB=BC\) и \(CD=DE\) получаем, что пары касательных, проведённых из точек \(B\) и \(D\), имеют одинаковые длины. Следовательно, соответствующие дуги \(AC\) и \(CE\) равны.

1. Угол между касательными \(BA\) и \(BC\) равен \(180^\circ-\angle AOC\).
2. Угол между касательными \(DC\) и \(DE\) равен \(180^\circ-\angle COE\).
3. Так как дуги \(AC\bigl(\angle AOC\bigr)\) и \(CE\bigl(\angle COE\bigr)\) равны, то \(\angle AOC=\angle COE\).
4. Следовательно, \(\angle ABC=180^\circ-\angle AOC=180^\circ-\angle COE=\angle CDE\).

Ответ: \(\angle ABC=\angle CDE\).