5) Доказать: 1) AA₁ = BB₁; 2) C ∈ OO₁.

Из точки C к большой окружности проведены касательные CA и CB, поэтому CA = CB. К малой окружности из C проведены касательные CA₁ и CB₁, поэтому CA₁ = CB₁. По рисунку CA = CA₁ + A₁A и CB = CB₁ + B₁B. Вычитая равные отрезки CA₁ и CB₁ из равных CA и CB, получаем A₁A = B₁B.

Центры окружностей равноудалены от сторон угла с вершиной C, поскольку радиусы к точкам касания перпендикулярны этим сторонам. Центры O и O₁ лежат на одной биссектрисе этого угла. Значит, C, O и O₁ лежат на одной прямой, то есть C ∈ OO₁.