4) Доказать: 1) AA₁ = BB₁; 2) K ∈ OO₁.

Из точки K проведены касательные к большой окружности, поэтому KA = KB. К малой окружности из K также проведены касательные, поэтому KA₁ = KB₁. По рисунку точки на каждой касательной расположены так, что AA₁ = AK + KA₁, а BB₁ = BK + KB₁. Складывая равные отрезки, получаем AA₁ = BB₁.

Центр окружности равноудалён от касательных к ней: радиусы, проведённые в точки касания, перпендикулярны касательным. Поэтому O лежит на биссектрисе угла между касательными, пересекающимися в K. По той же причине на биссектрисе угла между касательными лежит O₁. По рисунку центры находятся на одной прямой-биссектрисе, следовательно, K, O и O₁ коллинеарны, то есть K ∈ OO₁.