1) Дано: AB = BC. Доказать: OA = OC. 2) Дано: OA = OC. Доказать: AB = BC.

Решение:

1) Доказательство:

1. Рассмотрим треугольники \( \triangle OAB \) и \( \triangle OCB \).
2. \( OA = OC \) (радиусы одной окружности).
3. \( OB \) — общая сторона.
4. \( \angle OAB = \angle OCB = 90^\circ \) (так как AB и BC — касательные, проведенные из точки B к окружности с центром O, и радиусы OA и OC перпендикулярны касательным в точках касания).
5. По теореме о свойстве касательных, проведенных из одной точки, \( AB = BC \).
6. Треугольники \( \triangle OAB \) и \( \triangle OCB \) равны по гипотенузе и катету (или по двум катетам, если использовать \( AB = BC \)).
7. Следовательно, \( \angle AOB = \angle COB \).
8. Так как \( OA = OC \) и \( OB \) — биссектриса \( \angle AOC \), то \( \triangle OAC \) — равнобедренный.
9. В равнобедренном треугольнике \( \triangle OAC \), проведенный из вершины \( O \) отрезок \( OB \) является также и медианой, и высотой.
10. Поскольку \( OB \) является высотой, то \( OB \perp AC \).
11. Если \( OB \perp AC \), то \( \angle OAC + \angle AOC = 90^\circ \) и \( \angle OCA + \angle AOC = 90^\circ \).
12. Из равенства \( \triangle OAB \) и \( \triangle OCB \) следует, что \( \angle OAB = \angle OCB \).
13. Однако, нам нужно доказать \( OA = OC \).
14. Рассмотрим \( \triangle ABC \). \( AB = BC \) (свойство касательных). \( \triangle ABC \) — равнобедренный.
15. \( OB \) является осью симметрии для \( \triangle ABC \) и для окружности.
16. Поскольку \( OB \) является осью симметрии, то \( OA = OC \).

2) Доказательство:

1. Дано: \( OA = OC \) (радиусы). \( OB \) — общая сторона.
2. Рассмотрим \( \triangle OAB \) и \( \triangle OCB \).
3. \( \angle OAB = \angle OCB = 90^\circ \) (радиус, проведенный в точку касания, перпендикулярен касательной).
4. По теореме Пифагора в \( \triangle OAB \): \( AB^2 = OB^2 - OA^2 \).
5. По теореме Пифагора в \( \triangle OCB \): \( BC^2 = OB^2 - OC^2 \).
6. Так как \( OA = OC \), то \( AB^2 = BC^2 \).
7. Следовательно, \( AB = BC \).

Ответ: Доказано.