Решение:

Дано: Трапеция ABCD, \( AD \parallel BC \), \( \angle DAB = 90^{\circ} \), \( AC \) — биссектриса \( \angle DAB \), \( \angle DAB = 45^{\circ} \), \( BC = 10\sqrt{2} \).

Найти: \( BD \).

Так как \( AC \) — биссектриса \( \angle DAB \), то \( \angle DAC = \angle CAB = \frac{45^{\circ}}{2} = 22.5^{\circ} \).
\( AD \parallel BC \) и \( AC \) — секущая. Следовательно, \( \angle BCA = \angle DAC = 22.5^{\circ} \) (как накрест лежащие углы).
В прямоугольном треугольнике ABC, \( \angle ABC = 90^{\circ} \). Сумма углов в треугольнике равна 180°, поэтому \( \angle BAC = 180^{\circ} - 90^{\circ} - 22.5^{\circ} = 67.5^{\circ} \).
\( AD \parallel BC \) и \( AB \) — секущая. Следовательно, \( \angle DAB + \angle ABC = 90^{\circ} + 90^{\circ} = 180^{\circ} \).
Из \( \angle BAC = 67.5^{\circ} \) и \( \angle CAB = 22.5^{\circ} \) следует, что \( \angle DAB = \angle DAC + \angle CAB = 22.5^{\circ} + 67.5^{\circ} = 90^{\circ} \).
В прямоугольном треугольнике ABC, \( BC = 10\sqrt{2} \). \( \tan(\angle BAC) = \frac{BC}{AB} \)
\( \tan(67.5^{\circ}) = \frac{10\sqrt{2}}{AB} \). \( \tan(67.5^{\circ}) = \tan(45^{\circ} + 22.5^{\circ}) = \frac{\tan(45^{\circ}) + \tan(22.5^{\circ})}{1 - \tan(45^{\circ})\tan(22.5^{\circ})} = \frac{1 + \tan(22.5^{\circ})}{1 - \tan(22.5^{\circ})} \).
\( \tan(22.5^{\circ}) = \sqrt{2} - 1 \).
\( \tan(67.5^{\circ}) = \frac{1 + (\sqrt{2}-1)}{1 - (\sqrt{2}-1)} = \frac{\sqrt{2}}{2-\sqrt{2}} = \frac{\sqrt{2}(2+\sqrt{2})}{(2-\sqrt{2})(2+\sqrt{2})} = \frac{2\sqrt{2}+2}{4-2} = \frac{2\sqrt{2}+2}{2} = \sqrt{2}+1 \).
\( \sqrt{2}+1 = \frac{10\sqrt{2}}{AB} \) ⇒ \( AB = \frac{10\sqrt{2}}{\sqrt{2}+1} = \frac{10\sqrt{2}(\sqrt{2}-1)}{(\sqrt{2}+1)(\sqrt{2}-1)} = \frac{10(2-\sqrt{2})}{2-1} = 10(2-\sqrt{2}) = 20 - 10\sqrt{2} \).
В прямоугольной трапеции ABCD, \( AD = BC = 10\sqrt{2} \) (так как \( \triangle ABC \) прямоугольный, и \( \text{AB} \) является высотой, то \( \text{BC} \) — это основание, а \( \text{AD} \) — другое основание).
\( AB = 20 - 10\sqrt{2} \)
В прямоугольном треугольнике ABD: \( BD^2 = AB^2 + AD^2 = (20 - 10\sqrt{2})^2 + (10\sqrt{2})^2 \)
\( BD^2 = (400 - 400\sqrt{2} + 200) + 200 = 600 - 400\sqrt{2} + 200 = 800 - 400\sqrt{2} \)
\( BD = \sqrt{800 - 400\sqrt{2}} = \sqrt{400(2-\sqrt{2})} = 20\sqrt{2-\sqrt{2}} \).

Ответ: \( 20\sqrt{2-\sqrt{2}} \).

Поделись с друзьями