Для нахождения объёма пирамиды \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \) нам нужно найти площадь основания \( S_{осн} \) и высоту пирамиды \( H \).

Площадь основания: Основание ABCD — квадрат. Сторона квадрата \( a = 15\sqrt{2} \). Площадь квадрата \( S_{осн} = a^2 \).
\( S_{осн} = (15\sqrt{2})^2 = 15^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 225 \cdot 2 = 450 \).
Высота пирамиды: В правильной четырёхугольной пирамиде высота \( H \) опускается в центр основания. Пусть \( O \) — центр основания. Тогда \( SO = H \). Рассмотрим прямоугольный треугольник \( SOC \). \( SC = 39 \) (боковое ребро), \( OC \) — половина диагонали основания.
Диагональ основания: Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \).
\( d = (15\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 15 \cdot 2 = 30 \).
Половина диагонали: \( OC = \frac{d}{2} = \frac{30}{2} = 15 \).
Высота пирамиды: В \( \triangle SOC \): \( SC^2 = SO^2 + OC^2 \)
\( 39^2 = H^2 + 15^2 \)
\( 1521 = H^2 + 225 \)
\( H^2 = 1521 - 225 = 1296 \)
\( H = \sqrt{1296} = 36 \).
Объём пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 450 \cdot 36 = 150 \cdot 36 = 5400 \).

Ответ: 5400

Поделись с друзьями