Вычислите интеграл: \( \int (4x^3 - x + 5) dx \)

Решение:

Для вычисления интеграла используем правила интегрирования степенной функции \( \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \) и линейности интеграла.

\( \int (4x^3 - x + 5) dx = \int 4x^3 dx - \int x dx + \int 5 dx \)

Вычислим каждый интеграл отдельно:

• \( \int 4x^3 dx = 4 \int x^3 dx = 4 \cdot \frac{x^{3+1}}{3+1} = 4 \cdot \frac{x^4}{4} = x^4 \)
• \( \int x dx = \frac{x^{1+1}}{1+1} = \frac{x^2}{2} \)
• \( \int 5 dx = 5x \)

Соберём все части вместе, добавив константу интегрирования C:

\( x^4 - \frac{x^2}{2} + 5x + C \)

Ответ: \( x^4 - \frac{x^2}{2} + 5x + C \)