12. В правильной четырёхугольной пирамиде SABCD с основанием ABCD боковое ребро SC=39, а сторона основания 15√2. Найдите объём пирамиды.

Решение:

Для нахождения объёма пирамиды \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H \) нам нужно найти площадь основания \( S_{осн} \) и высоту пирамиды \( H \).

1. Площадь основания: Основание ABCD — квадрат. Сторона квадрата \( a = 15\sqrt{2} \). Площадь квадрата \( S_{осн} = a^2 \).
   \( S_{осн} = (15\sqrt{2})^2 = 15^2 \cdot (\sqrt{2})^2 = 225 \cdot 2 = 450 \).
2. Высота пирамиды: В правильной четырёхугольной пирамиде высота \( H \) опускается в центр основания. Пусть \( O \) — центр основания. Тогда \( SO = H \). Рассмотрим прямоугольный треугольник \( SOC \). \( SC = 39 \) (боковое ребро), \( OC \) — половина диагонали основания.
3. Диагональ основания: Диагональ квадрата \( d = a\sqrt{2} \).
   \( d = (15\sqrt{2}) \cdot \sqrt{2} = 15 \cdot 2 = 30 \).
4. Половина диагонали: \( OC = \frac{d}{2} = \frac{30}{2} = 15 \).
5. Высота пирамиды: В \( \triangle SOC \): \( SC^2 = SO^2 + OC^2 \)
   \( 39^2 = H^2 + 15^2 \)
   \( 1521 = H^2 + 225 \)
   \( H^2 = 1521 - 225 = 1296 \)
   \( H = \sqrt{1296} = 36 \).
6. Объём пирамиды: \( V = \frac{1}{3} S_{осн} \cdot H = \frac{1}{3} \cdot 450 \cdot 36 = 150 \cdot 36 = 5400 \).

Ответ: 5400