10. Найдите корень уравнения \( \log_5 (2x - 4) = 2 \)

Решение:

Чтобы найти корень уравнения, воспользуемся определением логарифма: \( \log_a b = c \Leftrightarrow a^c = b \).

В нашем случае \( a=5 \), \( b=(2x-4) \), \( c=2 \).

Применим это к уравнению:

\( 5^2 = 2x - 4 \)

\( 25 = 2x - 4 \)

Теперь решим полученное линейное уравнение:

\( 2x = 25 + 4 \)

\( 2x = 29 \)

\( x = \frac{29}{2} \)

\( x = 14.5 \)

Проверим, входит ли найденное значение \( x \) в область допустимых значений (ОДЗ). Для \( \log_5 (2x - 4) \) требуется, чтобы \( 2x - 4 > 0 \).

\( 2 \cdot 14.5 - 4 = 29 - 4 = 25 > 0 \). ОДЗ выполняется.

Ответ: \( x = 14.5 \)