7. Упростите выражение:

Решение:

Упростим выражение, используя свойства степеней:

\( \frac{a^6 \cdot a^{\frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{6 + \frac{1}{2}}}{a^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{12+1}{2}}}{a^{\frac{1}{3}}} = \frac{a^{\frac{13}{2}}}{a^{\frac{1}{3}}} = a^{\frac{13}{2} - \frac{1}{3}} \)

Приведём показатели степени к общему знаменателю:

\( \frac{13}{2} - \frac{1}{3} = \frac{13 \cdot 3}{2 \cdot 3} - \frac{1 \cdot 2}{3 \cdot 2} = \frac{39}{6} - \frac{2}{6} = \frac{37}{6} \)

Таким образом, выражение равно:

\( a^{\frac{37}{6}} \)

Ответ: \( a^{\frac{37}{6}} \)