Аксиома о параллельных прямых, её свойства и применение
Один из постулатов, лежащих в основе классической планиметрии – аксиома о параллельных прямых, которая имеет другое название: пятый постулат Евклида. Впервые она была записана в «Началах» Евклида, там же разъяснено, что такое параллельности, приведены свойства, а также следствия и доказательство, поскольку она оказалась сложнее множества других аксиом. В первую очередь нужно разобраться, как звучит этот постулат, не только в классическом его виде, но и с точки зрения современной геометрии, какие свойства из него вытекают, где и каким образом они применяются практически. Несмотря на достаточно древнюю, давнюю историю открытия и обоснования данного геометрического описания, она активно востребована и сегодня. В частности, она нашла свое применение в:
- непосредственно геометрии;
- технике и технологии;
- строительстве и множестве других аналогичных и связанных с ним сфер и областей.
Школьники знакомятся с этим понятием и его элементарными свойствами и применением в самом начале изучения геометрической науки, в 7-м классе. И хотя сам по себе материал несложный, тем не менее, у учащихся нередко появляются затруднения и проблемы. Обычно они проистекают из ранее допущенных пробелов в математических знаниях. Некоторые из них тянутся еще из начальной школы. Во избежание трудностей или для того, чтобы оперативно справиться с ними, желательно прибегнуть к эффективным и доступным для каждого подростка помощникам. В ряде случаев начинать исправлять ошибки придется с азов, например, проштудировав гдз математика 3 класс, где даны начала школьных геометрических знаний. Не стоит стесняться возвращаться к ранее пройденному материалу. Напротив, такое повторение в более старшем, осознанном возрасте, позволит грамотно и быстро устранить недочеты, а также сразу же понять и новый, свежий материал из геометрии для седьмого класса. Но к занятиям следует подходить ответственно, уделять им достаточно времени и не пропускать подготовительную работу. В этом случае уже спустя непродолжительное время можно будет увидеть убедительный положительный результат: более глубокие знания, высокие оценки по дисциплине.
Аксиома параллельных прямых следствия, доказательство, свойства
По существу, она звучит следующим образом: через одну точку на плоскости и вне данной прямой можно провести лишь одну параллельную данной прямую. Можно сказать и более простыми словами – параллельные прямые никогда не пересекаются. Важно! Этот постулат выполняется исключительно в евклидовой геометрии. В других же, например, в сферической, он не выполняется. Такова аксиома параллельных прямых и ее следствия (свойства) гласят:
- Когда третья прямая пересекает одну из двух взаимно параллельных прямых, она будет пересекать и вторую. Здесь имеет место доказывание от противного.
- Когда две прямые параллельны третьей, они параллельны и друг другу. Здесь также предусмотрено доказывание от противного.
Поскольку это аксиома параллельных прямых доказательство ее не потребуется. Хотя многие из математиков изначально не воспринимали ее в качестве аксиомы. Поскольку она сложнее остальных постулатов, ее пытались доказывать различными способами. Почти два тысячелетия математики предлагали свои варианты доказывания, но во всех из них рано или поздно обнаруживалась та или иная логическая ошибка, которая приводила к порочному кругу доказательных неудач. В числе неявных и явных посылок было утверждение, которое само по себе невозможно было доказать, не прибегая к все тому же пятому постулату.
Что такое аксиома параллельных прямых и где она востребована?
Практическое применение этого математического вывода актуально и сегодня. Например, в технике с его помощью выверяют правильное расположение рельсов для железных дорог и линий метрополитена. Таким образом поезда и составы могут беспрепятственно перемещаться, сохраняя заданную скорость.
При проектировании вращающихся механизмов эта аксиома тоже сохраняет актуальность, поскольку если параллельные прямые повернуть или отзеркалить, то свою параллельность они сохранят. Так же параллельно прокладывают линии электропередач. Таким образом можно полностью избежать их соприкосновения, пересечения и избавиться от риска отсутствия электричества, его перебоев, короткого замыкания на линии. Принцип поворота и масштабирования, параллельного переноса, за которыми стоит все тот же пятый евклидов постулат и геометрические, математические закономерности, из него проистекающие, актуален в компьютерной графике и при построении чертежей.
В хозяйственно-бытовых вопросах она также нашла свое применение, например, при разметке парковочных мест, дорожек в бассейне и иных аналогичных ситуациях.