Как найти координаты точки на прямой или отрезке

В разделе математики и в других науках базовым понятием являются координаты и система координат. В первом случае речь идет о совокупности чисел, определяющих местоположение какого-либо объекта на прямой, в пространстве, на плоскости, на какой-либо поверхности, отрезке, на окружности и т. п. Так, можно записать числами место нахождения дома, где находится человек, офиса, где он работает, чтобы другие могли понять, где именно его можно найти. С точками в системе координат все происходит ровно так же.

Прямоугольная система координат была изобретена французским математиком Рене Декартом. Поэтому ее второе распространенное название – декартова. Графически она представляет собой два луча, перпендикулярных друг другу, с начало отсчета (точкой 0) в месте их пересечения. Сами же лучи представляют собой числовые оси. Горизонтальная называется ось абсцисс и обозначается как Ох, а вертикальная, соответственно, ординат, имеющая название Оу. Положительное значение Ох – слева направо от нулевой координаты, Оу – снизу вверх, от начала отсчета, соответственно.

Таким образом, пересечением лучей образованы четыре плоскости (четверти):

1. Первая – правый верхний угол.
2. Вторая – левый верхний угол.
3. Третья – левый нижний угол.
4. Четвертая – правый нижний угол.

На основании этой разбивки формулируется правило, с помощью которого можно понять, как найти координаты точки формула которой существует для каждого конкретного частного случая. Оно гласит:

• когда обе координаты положительны, точка расположена в первой четверти;
• когда у положительна, а х – отрицательна – во 2-й;
• при отрицательной у и положительной х – в 4-й;
• обе отрицательные – в третьей.

Чтобы точнее разобраться и правильно выполнять задания по этой теме, можно обратиться за разъяснениями и рекомендациями на гдз по фото, где можно получить точный и полный ответ на вопросы любого уровня сложности. Они составлены с учетом современных понятий и требований и будут полезны и школьникам, и педагогам, и другим заинтересованным пользователям.

 Как найти координаты точки на отрезке или прямой

Согласно общим математическим принципам, в двухмерной системе каждая точка имеет две координаты. Чтобы найти их, нужно опустить перпендикуляр от точки на каждую ось и замерить числовое значение (количество единичных отрезков от нулевой точки до опущенного перпендикуляра). Координаты записываются в скобках после обозначения самой точки: А(х;у). Решая задачу, как найти координаты точки на прямой, заданной уравнением, нужно подставить одну из ее координат в это уравнение и выразить через нее другую. Упростив его, получим уравнение с одним неизвестным, которое можно решить, получив в результате искомую величину. При этом важно учитывать, что поскольку прямая проходит через всю плоскость, то существует бесконечное множество принадлежащих ей точек. Поэтому для любой заданной координаты найдется другая, принадлежащая данной прямой. Аналогично можно найти и данные координат любой точки отрезка, который математически является частью прямой, ограниченной с обоих концов.

Как найти координаты точек окружности и другие параметры системы

Так, анализируя, как найти координаты точки середины отрезка, нужно опираться на то, где находится искомая фигура – в пространстве или она плоскостная. Во втором случае решение можно выразить через систему уравнений: xc = (xa + xb) / 2;

yc = (ya + yb) / 2, где первое выражение в скобках – координаты первой точки, второе, соответственно, второй. А хс и ус, таким образом, будут серединой отрезка, точкой С (хс; ус). Подставив числовые значения и решив пример, можно найти соответствующий результат.

В пространстве формульное равенство приобретет несколько иной вид. Здесь прибавляется третья координата – по оси z. И расчет будет таким: xc = (xa + xb) / 2;

yc = (ya + yb) / 2;

zc = (za + zb) / 2. Далее выполняются действия, как в предыдущем пункте и в итоге получается искомая величина.

Для окружностей и поиска координат лежащих на них точек существует своя методика определения и расчета искомых величин. Здесь предполагается использовать одну из нескольких формул, опираясь на имеющиеся исходные данные. Например, по углу и радиусу можно действовать таким образом: координату х найти на основании формульного тождества: x = r * cos(угол); а у, соответственно - y = r * sin(угол). В данном выражении r является радиусом, а угол отсчитывается против часовой стрелки от центра рассматриваемой окружности.

Также можно найти искомое по радиусу и центру, опираясь на: x = x₀ + r * cos(угол); y = y₀ + r * sin(угол), где угол отсчитывается от центра, r – радиус, x₀; y₀ - координаты центра окружности. Выбрав одну из удобных методик, можно рассчитать все требуемые в задании величины и параметры.