Как найти медиану треугольника: формула и примеры
Проведите от вершины отрезок к середине противоположной стороны — получится медиана. Для вычислений иногда достаточно теоремы Пифагора, а иногда нужны другие действия. Всё решают данные в условии. Разберём три случая и потренируемся читать чертёж.
Сначала найдите середину
Нарисуйте ABC, отметьте на BC точку M так, чтобы BM = MC, и соедините её с A. Отрезок AM — то, что мы ищем. Даже если он выглядит наклонным, определение выполнено: решающее свойство здесь — два равных участка на BC.
В каждом из трёх углов можно начать такое построение. Полученные отрезки могут иметь разную длину. Высота перпендикулярна стороне или её продолжению, биссектриса делит угол пополам, а медиана делит пополам противоположную сторону. В некоторых фигурах их удаётся совместить — ниже увидим, когда это возможно.
Полезный порядок работы:
- Уточните, из какой вершины нужно провести искомый отрезок.
- Отметьте середину напротив неё и подпишите известные размеры.
- Проверьте, есть ли равные стороны или прямые углы.
- Выберите формулу, подставьте числа и укажите единицы длины.
Не доверяйте одному впечатлению от рисунка. Равенство, которого нет в условии или доказательстве, нельзя использовать только потому, что линии выглядят одинаковыми.
Если известны три стороны
Обозначим BC = a, AC = b, AB = c. Пусть mₐ = AM: нижний индекс напоминает, к какой стороне он проведён. Тогда:
mₐ = ½√(2b² + 2c² − a²).
Под корнем вычитают квадрат именно той стороны, середину которой отметили. Квадраты двух остальных берут с коэффициентом 2. Эта формула действует для любого невырожденного треугольника — то есть такого, у которого вершины не лежат на одной прямой.
Пусть a = 6 см, b = 7 см, c = 5 см. Получаем:
mₐ = ½√(2 · 7² + 2 · 5² − 6²) = ½√112.
Запись √112 можно упростить без калькулятора. Разложим 112 на 16 · 7: √112 = 4√7, значит, mₐ = 2√7 см ≈ 5,29 см. Если трудность именно в таких преобразованиях, откройте гдз по алгебре, выберите свой учебник и упражнение на квадратные корни. Сравните шаг вынесения множителя, а затем самостоятельно закончите геометрический расчёт.
Почему перед корнем стоит половина? Общая формула выражает равенство 4mₐ² = 2b² + 2c² − a², известное как теорема Аполлония. После деления на 4 и извлечения корня получаем множитель ½. Длина положительна, поэтому отрицательный корень здесь не подходит.
Если нужно вычислить расстояние из B или C до середины напротив, поменяйте обозначения: вычитаемый квадрат относится к той стороне, на которую опирается построение. Сохранять прежний порядок чисел нельзя.
Как найти медиану равнобедренного треугольника
Если провести её к основанию, она одновременно окажется высотой. Треугольники ABM и ACM равны по трём сторонам: AB = AC, BM = MC, а AM у них общая. Смежные углы при M одинаковы и в сумме составляют 180°, поэтому каждый из них — 90°.
Теперь работает теорема Пифагора. Для равнобедренного треугольника с основанием a и боковой стороной b получаем:
mₐ = √(b² − (a/2)²).
Возьмём b = 13 см и a = 10 см. Половина основания равна 5 см, поэтому AM = √(13² − 5²) = √144 = 12 см. Заметьте: сначала делим 10 пополам и лишь потом возводим в квадрат. Выражения (10/2)² и 10²/2 дают разные результаты.
Способ относится к построению из вершины между равными сторонами. Если M лежит на одной из них, перпендикулярность уже не гарантирована; используйте общую формулу.
Как найти медиану равностороннего треугольника
Здесь все три размера одинаковы, а каждый из искомых отрезков является высотой. Для равностороннего треугольника со стороной a подставим b = a в уже знакомое выражение:
m = √(a² − a²/4) = √(3a²/4) = a√3/2.
Например, при a = 8 см ответ равен 4√3 см, или примерно 6,93 см. Точную запись с корнем лучше сохранить, если округление не требуется: так не накопится погрешность в дальнейших вычислениях.
Если в условии нужно понять, как найти медиану правильного треугольника, используйте тот же способ. Слово «правильный» здесь означает, что все стороны и углы равны. Для правильного треугольника достаточно знать один размер: остальные уже определены.
А как найти медиану треугольника, зная его сторону, если никаких уточнений нет? Однозначно ответить нельзя. На одном и том же основании можно построить фигуры разной высоты, передвигая верхнюю вершину. Расстояние от неё до середины внизу будет меняться, хотя известная длина останется прежней.
Попробуйте решить самостоятельно: AB = AC = 10 см, BC = 12 см. Сколько получится от A до точки M, если BM = MC? Сначала сделайте набросок, затем запишите вычисления. Для сверки: 8 см.
Перед тем как обвести ответ, проверьте себя:
- В условии действительно есть сведения, на которые опирается выбранный способ.
- На чертеже отмечена середина нужного отрезка, а не произвольная точка.
- Под корнем учтена половина основания, если использована теорема Пифагора.
- Результат записан в сантиметрах или других единицах длины, а не площади.
