Когда используется теорема косинусов
В задаче указаны две стороны треугольника и образованный ими угол, а определить требуется третью сторону. Какая формула подойдёт? Вместо перебора правил лучше сначала выписать исходные сведения. По их сочетанию обычно сразу видно, когда используется теорема косинусов, а когда проще выбрать другой способ.
Правило работает для остроугольного, прямоугольного и тупоугольного треугольника. Важен не его вид, а расположение заданных элементов.
Когда применяется теорема косинусов
Пусть стороны обозначены буквами a, b, c, а угол γ лежит напротив стороны c. Основная формула имеет вид:
c² = a² + b² − 2ab · cos γ.
Её применяют, если известны стороны a, b и заключённый между ними угол γ, а найти нужно сторону c. Когда указаны все три стороны, ту же запись преобразуют:
cos γ = (a² + b² − c²) / 2ab.
Выбрать способ помогает короткий алгоритм:
- Определите известные элементы и искомую величину.
- Проверьте сочетание: две стороны и угол между ними либо три стороны.
- Выберите подходящую запись формулы и подставьте значения.
- Выполните расчёт и оцените результат: длина должна быть положительной, а градусная мера — находиться в пределах от 0° до 180°.
Перед подстановкой сверьте обозначения. Сторона c лежит напротив угла γ, который образуют стороны a и b. Если взять другой угол, даже безошибочные вычисления приведут к неверному ответу.
Косинусы, синусы или Пифагор
Один и тот же вопрос «найдите сторону» может решаться разными способами. Выбор зависит от данных в условии.
Теорему Пифагора используют для прямоугольного треугольника. При γ = 90° получаем cos 90° = 0, поэтому исходная запись сокращается до c² = a² + b².
Теорема синусов удобна, если уже дана пара «сторона — противолежащий ей угол». Для рассматриваемого метода характерен другой набор: две стороны и угол между ними или три заданные длины. В краткой записи эти сочетания обозначают как SAS и SSS соответственно.
Использование теоремы косинусов: примеры
Найти третью сторону. Указаны a = 5, b = 7 и γ = 60°. Подставим значения:
c² = 5² + 7² − 2 · 5 · 7 · cos 60° = 25 + 49 − 35 = 39.
Следовательно, c = √39 ≈ 6,24.
Найти угол по трём сторонам. Стороны равны 5, 6 и 7. Для угла γ, лежащего напротив стороны со значением 7, получаем:
cos γ = (5² + 6² − 7²) / (2 · 5 · 6) = 12 / 60 = 0,2.
По таблице или с помощью калькулятора находим:
γ = arccos 0,2 ≈ 78,5°.
Определить расстояние на местности. Дороги протяжённостью 4 и 6 км выходят из одной точки под углом 120°. Вместе с отрезком между конечными пунктами они образуют треугольник. Расчёт даёт c = √76 = 2√19 ≈ 8,72 км.
Метод пригодится и там, где подходящий треугольник не назван напрямую. Например, диагональ делит параллелограмм или произвольный четырёхугольник на треугольники. Если в одной части заданы две стороны и угол γ между ними, диагональ находят по той же формуле. Аналогично вычисляют расстояние между пунктами, направления на которые выходят из одного места под заданным углом.
По трём сторонам можно определить вид треугольника без вычисления углов. Для наибольшей стороны c сравнивают c² с суммой a² + b²:
- Если c² < a² + b², треугольник остроугольный.
- Если c² = a² + b², треугольник прямоугольный.
- Если c² > a² + b², треугольник тупоугольный.
Такой приём используют, когда требуется установить вид треугольника или доказать, что угол напротив наибольшей стороны превышает 90°.
Если условие дано на рисунке и трудно определить известные элементы, можно проверить ход через решение по фото гдз, а затем сопоставить шаги с чертежом.
Когда формулу лучше не использовать
Упоминание треугольника ещё не означает, что обязательно нужен этот способ. Сначала проверьте, нет ли более короткого пути:
- Подтверждено значение 90°, и для решения достаточно теоремы Пифагора.
- Дана сторона и противолежащий ей угол — удобнее рассмотреть теорему синусов.
- Исходных данных недостаточно для однозначного ответа.
- Вместо угла между двумя известными сторонами ошибочно выбрана другая величина.
Небольшой чертёж с подписями часто помогает предотвратить ошибку до начала расчётов. На нём видно, какая сторона лежит напротив выбранного угла и какие два луча его образуют.
Как быстро выбрать нужную формулу
Запомните два сигнала: даны две стороны и угол между ними либо все три стороны. В первом случае можно вычислить третью сторону, во втором — градусную меру. Именно эти сочетания подсказывают, когда используют теорему косинусов. Если сначала перевести условие в краткую запись «дано — найти», нужный метод станет заметен ещё до вычислений.
