Когда используется теорема Виета

Квадратное уравнение иногда решают без дискриминанта. Достаточно подобрать два корня по коэффициентам b и c. Приём удобен для целых значений, однако сначала выражение приводят к стандартному виду и учитывают старший множитель a.

Разберём, когда используется теорема Виета, как не перепутать два равенства и почему в неприведённом уравнении нельзя работать только с b и c. Затем сравним этот способ с универсальной формулой.

Какие величины связывает теорема Виета

Для уравнения ax² + bx + c = 0, где a ≠ 0, корни x₁ и x₂ удовлетворяют равенствам:

x₁ + x₂ = −b / a,

x₁ · x₂ = c / a.

Если a = 1, запись упрощается. Для x² + px + q = 0 получаем x₁ + x₂ = −p и x₁x₂ = q. Следовательно, p берут с противоположным знаком, а q — без изменения.

Прямая теорема сообщает характеристики корней. Обратную применяют для их поиска: если выбранная пара удовлетворяет обоим равенствам, это корни исходного уравнения. Оба действия часто называют решением по Виету.

Когда применяется теорема Виета на практике

Метод стоит рассмотреть в первую очередь, если:

• дано приведённое квадратное уравнение с небольшими целыми коэффициентами;
• требуется быстро получить два целых корня;
• один корень уже известен, а нужно определить второй;
• требуется вычислить x₁ + x₂ или x₁x₂ без отдельных расчётов;
• необходимо составить уравнение по заданной паре;
• выражение с x₁ и x₂ можно упростить через a, b и c.

Использование теоремы Виета особенно выгодно, когда у свободного члена мало целых делителей. Если подходящая пара не находится быстро, разумнее перейти к формуле корней: долгий перебор повышает риск ошибки.

Как подобрать корни по двум условиям

Рассмотрим x² − 7x + 12 = 0. Требуются два значения, которые вместе дают 7, а их произведение равно 12. Подходят 3 и 4.

Оценка исходных данных ускоряет поиск:

• условие q > 0 указывает на одинаковые знаки;
• условие q < 0 указывает на разные знаки;
• сочетание q > 0 и −p > 0 даёт два положительных ответа;
• сочетание q > 0 и −p < 0 даёт два отрицательных ответа;
• если знаки различаются, итог сложения получает знак большего по модулю значения.

Например, для x² + x − 12 = 0 произведение корней должно равняться −12, а сумма — −1. Условия выполняет пара 3 и −4: 3 · (−4) = −12, а 3 + (−4) = −1.

Если обозначения на снимке плохо различимы, можно открыть гдз по фото онлайн, сверить распознанную запись с оригиналом, а затем повторить вычисления.

Если q = 0, подбор не нужен. Левую часть x² + px можно представить как x(x + p). Один корень сразу равен нулю, второй — −p. Например, x² − 6x = 0 имеет решения 0 и 6.

Решение неприведённого уравнения

Для 2x² − 7x + 3 = 0 нельзя искать пару, которая вместе даёт 7, а после умножения — 3. Здесь a = 2, поэтому x₁ + x₂ = 7/2 и x₁x₂ = 3/2. Подходят 3 и 1/2.

Чтобы не забыть деление на a, действуйте по порядку:

1. Перенесите все слагаемые влево и получите ax² + bx + c = 0.
2. Выпишите a, b и c вместе со стоящими перед ними знаками.
3. Рассчитайте −b/a и c/a.
4. Найдите пару, отвечающую обоим условиям.
5. Подставьте результат в исходную запись.

Такая подстановка сразу выявит неточность. Дополнительная проверка — разложение: 2x² − 7x + 3 = (2x − 1)(x − 3). Нули множителей равны 1/2 и 3.

Использование теоремы Виета без вычисления корней

Иногда использование теоремы Виета сокращает решение ещё сильнее. Пусть x₁ и x₂ — корни 3x² − 6x − 5 = 0, а найти нужно x₁² + x₂². Вычислять каждый корень не требуется:

x₁ + x₂ = 2, x₁x₂ = −5/3;

x₁² + x₂² = (x₁ + x₂)² − 2x₁x₂ = 4 + 10/3 = 22/3.

Тот же принцип используют в обратной задаче. Для −2 и 5 получаем x₁ + x₂ = 3 и x₁x₂ = −10, откуда x² − 3x − 10 = 0. Умножение всех коэффициентов на ненулевую постоянную не меняет корни.

Когда лучше выбрать другой способ

До начала подбора оцените исходные данные. Универсальная формула надёжнее для крупных коэффициентов, иррациональных результатов или неочевидной пары. В задачах на действительные числа D < 0 означает отсутствие действительных корней. Если D = 0, получается одно значение двойной кратности, но равенства Виета продолжают действовать.

Другой метод удобнее и в нескольких типовых ситуациях:

• выражение имеет первую степень, то есть a = 0;
• левую часть легко свернуть по формуле сокращённого умножения;
• общий множитель позволяет сразу выполнить разложение;
• по условию требуется показать алгоритм через дискриминант.

Итак, ответ на вопрос, когда применяется теорема Виета, зависит от записи и цели задания. Простой подбор, преобразование выражений и составление квадратных уравнений проходят быстрее. В сложном случае надёжнее универсальная формула. Для проверки достаточно убедиться, что оба соотношения выполнены, а подстановка даёт верное числовое равенство.