Теорема Герона: общий и частный случаи

Школьный период, когда изучается теорема Герона 8 класс, именно тогда на уроках алгебры старшеклассники знакомятся с трудами выдающегося инженера и математика Древней Греции Герона Александрийского. Его исследования и научные разработки позволили сделать ряд важнейших для человечества открытий в области:

• физики;
• математики;
• техники.

Классическая древнегреческая геометрия обогатилась за счет этих работ новыми понятиями и выводами. Знаменитая формула позволяла без труда и с высокой степенью точности вычислить площадь любого треугольника. Кроме того, теорема позволила разработать многочисленные механические устройства, применяемые на практике. Некоторые из них являются прообразом современных автоматических дверей, паровых машин и фонтанов. Что еще раз доказывает исключительные инженерные способности их разработчика. И это далеко не единственный пример его научного творчества. Заметный след оставил он и в механике, оставив потомкам по-настоящему гениальные труды «Пневматика» и «Механика», где описаны устройства, которые вдохновляют на инженерные и технологические разработки и в наше время. Некоторые из этих описаний можно найти и применить в решении задач школьного курса. Например, их можно встретить в гдз по физике 7 класс Перышкин, перейдя на соответствующие разделы учебного пособия. Простые и лаконичные описания позволяют понять, как звучит теория сегодня, как грамотно ею воспользоваться. В том числе – в учебных, научных и практических целях.

Теорема Герона доказательство и особенности применения

Практичная формула Герона теорема – это универсальный математический инструмент, позволяющий вычислять площади треугольников. Особенно актуальна она в том случае, когда высоту в этой геометрической фигуре определить сложно или невозможно технически. Зная всего лишь длины сторон и ничего больше, можно без проблем работать с треугольниками любых типов, находя их площади. Это часто применялось и применяется в черчении, например, при выяснении особенностей сечения объемных фигур.

Основной целью данной математической модели-формулы является вычисление площади треугольника через длины всех трех его сторон: а, в и с. В этом ее основное отличие от классического подхода, по которому вычисляют данный искомый параметр. Математическая запись выглядит следующим образом: S = √(p × (p - a) × (p - b) × (p - c)), в которой:

S — площадь треугольника, которую необходимо вычислить;
a, b, c — соответственно, длины сторон рассматриваемого треугольника;
p — полупериметр, равный половине суммы длин сторон (или, по понятиям математики, половине его периметра) : p = (a + b + c) / 2.

Расчет работает для фигур любого типа, независимо от особенностей их сторон или углов. Он одинаково справедлив и применим для:
1. Остроугольных.
2. Тупоугольных.
3. Прямоугольных.

Поскольку не зависит от градусной меры углов, поскольку учитывает исключительно параметр длины сторон геометрической фигуры. Однако, со временем ученые пришли к выводу, что применение этой формулы-расчета может быть гораздо более широким и распространяться не только на треугольники, но и на многоугольники других типов. Если принять во внимание широко использующийся в физике метод размерностей и уравнять их в левой и правой части составленного на их основе уравнения, то можно получить обобщенную задачу, которую называют в ряде источников формулой Брахма Гупты и считают одним из частных случаев рассматриваемой нами теоремы.

Теорема Герона для четырехугольника – метод Брахмагупты

На протяжении многих лет математики оспаривали возможность составления аналогичной расчетной формулы для вычисления площади многоугольника. Ряд математиков был убежден, что через нее может быть вычислена только площадь треугольника теорема Герона частный и конкретный математический случай. Поскольку три стороны создают единственно возможных треугольный многоугольник, а четыре – бесконечное множество таких, причем разной величины площади. Однако, если существует окружность, которая проходит через все четыре вершины такого многоугольника, задача будет иметь решение. Более того, при таком условии сама формула-теорема Герона становится частным случаем другой, более широкой и объемной, теоремы Брахмагупты, где четвертая из сторон фигуры будет равной нулю. В целом общая формула для четырехугольника будет иметь вид: S = ✓(( p - a )( p - b )( p - c )( p - d )). А при равенстве четвертой стороне нолю, при подстановке ее в соответствующую запись, получается: S = ✓(( p - a )( p - b )( p - c )( p - 0 )) => S = ✓(( p - a )( p - b )( p - c )* p). Что, после выполнения соответствующих подстановок и упрощений преобразуется в первоначальную теорему Герона, доказательство которой и было приведено выше в описании. Историки-математики пока не могут сойтись во временных расхождениях. Поскольку индийский математик жил намного, на 5 – 6 веков, позже древнегреческого. И допустить, что за это время никто не пробовал и не доказал существование взаимосвязей между данными теоремами, считается маловероятным. Скорее всего, исследования и выводы по ним существовали. Но были утеряны для потомков.