Теорема Менелая: история, формулировка, доказательство

Время, когда школьники будут решать теорема Менелая задачи 8 класс, и желательно сразу же внимательно вникнуть в эту тему. Эта теорема – важное математическое правило, которое поможет на экзамене ЕГЭ решить одну из сложных задач второй части, когда никакими другими способами ее выполнить не получается. Аналогична и обратная ей, в зависимости от того, что спрашивается в задании, что именно дано и надо найти. Но в любом случае, задача любого восьмиклассника, запомнить, как звучит правило, как оно доказывается и каким образом успешнее всего его применить. Потом – решить примеры для закрепления пройденного, наилучшего усвоения и запоминания. Поскольку 8 класс достаточно далек по времени от выпускного, желательно закрепить материал в памяти как можно прочнее. И тогда на итоговом испытании сразу вспомнится теорема Менелая задачи будут оперативно решены, что уверенно добавит необходимых баллов к результату. Но не только в целях решения математических заданий хорошо это правило. Для других, сопряженных с математикой технических наук и дисциплин оно тоже пригодится. Например, его использование можно встретить в сборнике физика 7 класс гдз – в соответствующем разделе пособия к задачнику. В любом случае, такие знания помогут правильно делить отрезки, понимать принципы такого деления, успешно их применять.

 Теорема Менелая как звучит прямая и обратная

Менелай Александрийский жил в Древней Греции, где разрабатывал и применял свои задачи. Если речь шла о прямых и треугольниках, то для работы с ними, выявления закономерностей, позволяющих проводить практические исчисления, которых требовала геометрия теорема Менелая подходила как нельзя кстати. Она гласит, что если три точки A’, B’ и C’ принадлежат одной прямой, которая пересекает заданный треугольник АВС, то произведение соотношений длин тех отрезков, на которые пересекающая прямая будет делить стороны этого треугольника, составит 1 (единицу). В другую сторону это тоже абсолютно справедливо. И если в условии есть соотношения, пропорции, которые могут быть рассмотрены как произведения длин отрезков, равное единице, то точки A’, B’ и C’, принадлежащие сторонам треугольника АВС будут лежать на одной прямой, их пересекающей. Теперь всегда, когда есть фигура, в которой можно выделить треугольник и найти указанное выше соотношение, произведения которого будет = 1, можно смело доказывать, что прямая будет иметь точку пересечения с ним. И наоборот.

Доказательств существует несколько. Среди наиболее известных и часто применяемых можно привести:

1. Через подобные треугольники. Поскольку их свойством является то, что у них одинаковые по градусной мере углы, а стороны, хоть и имеют разные длины, но пропорциональны. Этот факт и будет использоваться для доказательства связи отношений отрезков, лежащих на разных сторонах фигуры, друг с другом. Надо выполнить дополнительное построение – поставить точку D на продолжении стороны АС, через которую проходит пересекающая ВС и АВ прямая. Пусть точка E - пересечение AB, точка F - пересечение BC. Далее из вершины А строится еще одна прямая, параллельная DF. Она, соответственно, пересечет ВС в т. G. Таким образом, в результате произведенных действий получается DF // AG. И новые подобные треугольники: ∆ EBF ~ ∆ ABG, а ∆ DCF ~ ∆ AGC. Воспользовавшись свойствами их подобия, можно сделать следующие выводы: AE/EB = GF/FB, а CD/DA = CF/GF. Равенства перемножаются, проводятся соответствующие сокращения по законам математики: AE/EB х CD/DA = GF/FB х CF/GF = CF/FB. Таким образом AE/EB х CD/DA х FB/CF = 1, что и требовалось доказать.
2. С помощью тригонометрического эквивалента, используя правило единицы через синус и косинус.
3. С помощью расчетов в сферической математике и геометрии Лобачевского.

Исследуя в дальнейшем историю и практику применения данной теории, можно сделать немало интересных открытий и упростить решение множества задач, технических и чисто математических.

Теорема Менелая формулировка и историческая справка

С терминологией и текстом было определено выше. В течение достаточно долгого времени формулировка практически не менялась, что дает уверенность считать в четкости и краткости теории. По своей сути она относится к классической теореме аффинной геометрии. Она была впервые доказана в третьей книге древнегреческого математика и астронома, именем которого названа около 100 г. н. э., «Сферики». Вначале автор доказал теорему для плоского случая, затем перенес ее на сферу при помощи метода центрального проектирования. Существует версия, что плоский случай был рассмотрен ранее, например, в евклидовых «Поризмах», которые не сохранились до наших дней. Сферическая же версия стала основным рабочим инструментом, при помощи которого решались различные прикладные задачи средневековой и позднеантичной геодезии и астрономии. В своих трудах ее применяли:

• Сабит ибн Кора;
• ал-Магриби;
• ан-Насави,

и другие ученые. Итальянский инженер и математик Д. Чева предложил в 1678 году доказательство для плоского случая при помощи центра тяжести системы из 3-х точечных грузов, что получило название теоремы Чева.